1、 6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解余弦定理的推导过程；2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理.【自主学习】一余弦定理文字语言三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的 符号语言a2 ；b2 ；c2 推论cos A ；cos B ；cos C 二余弦定理及其推论的应用1.利用余弦定理的变形判定角在ABC中，c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 ；c2b2c2，则ABC一定为钝角三角形()【经典例题】题型一 已知两边及一角解三角形点拨：
2、必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边例1 在ABC中，已知b3，c2，A30，求a.【跟踪训练】1 在ABC中，a2，c，B45，解这个三角形. 题型二 已知三边(三边关系)解三角形已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，)上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.例2 已知ABC中，a：b：c2：(1)，求ABC的各内角度数【跟
3、踪训练】2 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2c2ac，则角B的大小是()A45 B60C90 D135题型三 判断三角形的形状点拨：利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断（2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断例3 在ABC中，若a2bcosC，则ABC的形状为_【跟踪训练】3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，b3c，试判断ABC的形状【当堂达标】1.在ABC中，已知a2b2c2bc，则角A为( )A. B.C. D.或2.在AB
4、C中，已知A30，且3ab12，则c的值为( )A4 B8C4或8 D无解3.在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A等于()A90 B60C120 D1504.在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a2，B，c2，则b .5.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，则cos A_. 6.在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断ABC的形状【课堂小结】1适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立2. 主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化，适用于解三角形【参考答案】【自主学习】平方 平方的和 余弦的积的两倍b2c2
5、2bccosA a2c22accosB a2b22abcosC 直角 钝角 锐角 三角 两边 一角【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)(5)【经典例题】例1 解由余弦定理，得a2b2c22bccosA32(2)2232cos303，所以a.【跟踪训练】1 解 根据余弦定理得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos A，A60，C180(AB)75.例2 解 a：b：c2(1)，令a2k，bk，c(1)k(k0)由余弦定理的推论得：cosA，A45，cosB，B60.C180AB180456075.【跟踪训练】2 A解析：由已知得a2c2b2ac，所以c
6、os B.又0B180，所以B45.例3 等腰三角形 解析：a2bcos C2b，a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC为等腰三角形【跟踪训练】3 解：由余弦定理得a2b2c22bccosA.又因为cosA，b3c，所以a2b2c223ccb2c2.所以a2c2b2，所以B，所以ABC是直角三角形【当堂达标】1.C 解析：在ABC中，由余弦定理，得cosA.A(0，)，A.2.C 解析：由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccosA，即1648c212c，解得c4或c8.3.B 因为(ac)(ac)b(bc)，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，180)，所以A60.4.2 解析：由余弦定理得b2a2c22accosB4122224，所以b2.5. 解析：由BC,2ba，可得bca，所以cos A.6.解：由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.所以a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形
