1、3.2.2 奇偶性第2课时 奇偶性的应用【学习目标】课程标准学科素养1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小；3.能运用函数的单调性和奇偶性解不等式。1、数学抽象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】奇偶性与单调性一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有 的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有 的单调性【经典例题】题型一利用奇偶性求解析式1.已知区间a，b上的解析式，求b，a上的解析式：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(
2、2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数,未必有f(0)0.例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x2x，求当x0时，f(x)2xx2，求yf(x)的解析式2.已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令xx.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x
3、)，g(x)的解析式【跟踪训练】2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x22x，求函数f(x)，g(x)的解析式题型二利用奇偶性和单调性比较大小例3 设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是 【跟踪训练】3 若f(x)是偶函数，其定义域为(，)，且在0，)上是减函数，则f与f 的大小关系是()Af f Bf f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解2.在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响例4 已知函数yf(x)在
4、定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围。【跟踪训练】4 定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围【当堂达标】1.（多选）若奇函数f(x)在1,3上为增函数，且有最小值0，则它在3，1上()A是减函数 B是增函数 C有最大值0 D有最小值02.已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式4.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的解析式5.已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a10)
5、f(42a)0，求a的取值范围6.函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.【课堂小结】一题型：1.利用奇偶性，求函数的解析式；2.利用奇偶性和单调性比较大小；3.利用奇偶性和单调性比较大小解不等式二具有奇偶性的函数的单调性的特点：1.奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性2.偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性三数学思想：数形结合利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养【参考答案】【自主学习】相同 相反
6、【经典例题】例1 解： 设x0.f(x)(x)2xx2x.又f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)f(x)x2x，当x0时，f(x)x2x.【跟踪训练】1 解：设x0，因为f(x)是奇函数，所以当xf(3)f(2) 解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2).【跟踪训练】3 C 解析：因为a22a(a1)2，又f(x)为偶函数，且在0，)上是减函数，所以f f f .例4 解：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(
7、a1)又f(x)在1,1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0,1)【跟踪训练】4 解：函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m的取值范围是.【当堂达标】1.BC 解析：由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.2.A解析：f(x)为偶函数，f(x)f(|x|)则f(|2x1|)f.又f(x)在0，)上单调递增，|2x1|，解得x.3.解：设x0，f(x)(x)3x1x3x1.又f(x)是奇函数，则f(x)f(x)f(x)x3x1，即
8、f(x)x3x1.x0时，f(x)x3x1.又f(x)是奇函数，且在x0处有意义，则f(0)0.f(x)4.解: f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又f(x)g(x)x2x2，f(x)g(x)x2x2，即f(x)g(x)x2x2 由、得g(x)x22，f(x)x.5.解：f(3a10)f(42a)0，f(3a10)f(42a)，f(x)为奇函数，f(42a)f(2a4)，f(3a10)2a4，a6.故a的取值范围为(6，)6.(1)解f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(x)f(x)，即.bb，b0.f，a1.函数解析式为f(x) (1x1)(2)证明任取x1，x2(1,1)，且x1x2，f(x1)f(x2)，1x1x21，x1x20，(1x)(1x)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)为(1,1)上为增函数(3)解f(t1)f(t)0，f(t1)f(t)f(x)是(1,1)上的奇函数，f(t)f(t)，f(t1)f(t)f(x)为(1,1)上的增函数，解得0t.不等式的解集为.
