1、2.2 基本不等式第1课时 基本不等式的证明【学习目标】课程标准学科素养1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】重要不等式与基本不等式注意：基本不等式(a0，b0)(1)不等式成立的条件：a，b都是正数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立， 即ab；仅当ab时，的等号成立， 即ab.思考1：不等式a2b22ab与成立的条件相同吗？如果不同各是什么？思考2： a2(a0)是否恒成立？【小试牛刀】思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a
2、2b22ab、ab2均成立()(2)若a0，则a2 4.()(3)若a，bR，则ab2.()(4)若a0，b0，且ab16，则ab64.( )【经典例题】题型一 对基本不等式的理解例1 给出下面三个推导过程：因为a，b(0，)，所以2 2；因为aR，a0，所以a2 4；因为x，yR，xy0，b0时，(ab)4C当a4时，a2 6D当a0，b0时，题型二利用基本不等式比较大小例2 设0ab，则下列不等式中正确的是()A.ab B.abC.ab D.ab【跟踪训练】2 已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()A.mn B.mn C.mn D.mn题型三用基本不等式证明不等
3、式点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.例3 已知a，b，c为正数，且abc1，证明：9.【跟踪训练】3 已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.【当堂达标】1若0a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3.(多选题)下列不等式不一定成立的是()Ax2BC. D23x24.设a0，b0，给出下列不等式：a21a； 4； (ab)4； a296a.其中恒成立的是_(填序号).5 已知abc，则与的大小关系是 6.已知a，
4、b，c为正数，且abc1，证明：(1a)(1b)(1c)8abc.【参考答案】【自主学习】思考1：不同，a2b22ab成立的条件是a，bR；成立的条件是a，b均为正实数。思考2：只有a0时，a2，当a0时，a2【小试牛刀】 (1)(2)(3) (4)【经典例题】例1 D 解析 因为a，b(0，)，所以，(0，)，符合基本不等式成立的条件，故的推导过程正确；因为aR，a0不符合基本不等式成立的条件，所以a2 4是错误的；由xy0得，均为负数，但在推导过程中将看成一个整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故正确【跟踪训练】1 B解析：A项中，可能0，20，相乘得(ab)4，当且仅当
5、ab时等号成立，所以正确；C项中，a2 6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a0，b0)，所以D不正确例2 B 解析：法一0ab，a0，即a，排除D项，故选B.法二取a2，b8，则4，5，所以ab.【跟踪训练】2 A解析：因为a2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b24，综上可知mn.例3 证明3()()()32229.当且仅当abc时，等号成立.【跟踪训练】3证明 由基本不等式可得：a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理：b4c22b2c2， c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b
6、2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.【当堂达标】1. B解析：a2b2(ab)22ab(ab)222.a2b22ab(ab)20，a2b22ab，0ab且ab1，a0，b0时，ab2，则当ab4时有2ab4，解得ab4，充分性成立当a1，b4时满足ab4，但此时ab54，必要性不成立，综上所述，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件3. AD解析：A项，当x0时，x00，满足基本不等式的要求，C正确；D项，变形为，当x取正数时，不成立，D错误4. 解析：由于a21a0，故恒成立；由于ab224.当且仅当即ab1时，“”成立，故恒成立；由于(ab)2224.当且仅当，那么ab1时“”成立，故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立.综上，恒成立的是.5. 解析：abc，ab0，bc0.，当且仅当abbc，即2bac时取等号6.证明(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)2228abc.当且仅当bca时，等号成立.
