1、 6.2.3向量的数乘运算及其几何意义导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题【自主学习】知识点1 向量数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：21世纪*(1)|a|a|.(2)a(a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00.知识点2 向量数乘的运算律(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，有()
2、a(a)(a)；(ab)ab.知识点3 共线向量定理 向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.知识点4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有：(1a2b)1a2b.【合作探究】探究一 向量的数乘运算【例1】计算：(1)(3)4a；(2)3(ab)2(ab)a；(3)(2a3bc)(3a2bc)解(1)原式(34)a12a；(2)原式3a3b2a2ba5b；(3)原式2a3bc3a2bca5b2c.归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因
3、式”指向量，实数看作是向量的系数【练习1】跟踪训练1计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.探究二 用已知向量表示未知向量【例2】如图所示，已知ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.分析利用向量的加法和数乘运算进行化简解设x，则x，e1x，e1x.由，得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1.由，e1x，得xe1e1e1e2.归纳总结：由已知向量来表示另外一些向量是向量解
4、题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.【练习2】如图，设ABC的重心为M，O为平面上任一点，a，b，c，试用a、b、c表示向量.解：连接AM并延长交BC于D点M是ABC的重心，D是BC的中点，且AMAD.()()()(ba)(cb)abc.a(abc)探究三 向量共线定理的应用【例3-1】已知e1，e2是不共线的向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在R，使ab，即3e14e2(6e18e2)，所以(36)
5、e1(48)e20，因为e1与e2不共线，所以所以不存在，所以a与b不共线【例3-2】已知两个非零向量e1和e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A、B、D三点共线【来源：21cnj*y.co*m】证明6e123e2，4e18e2，(6e123e2)(4e18e2)10e115e2.又2e13e2，5，、共线，且有公共点B.A、B、D三点共线归纳总结：(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线【练习3
6、-1】已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：，共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解(1)e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.【练习3-2】已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，则A，P，B三点共线(2)若A，
7、P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.课后作业A组 基础题一、选择题1设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1 Ck2 Dk答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.n2m，此时，m，n共线2下列各式计算正确的有()(7)6a42a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1个 B2个 C3个 D4个答案C3已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在
8、AC边上答案D解析，2，P在AC边上4设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B.C. D.答案C解析如图，()2.5已知向量a，b，设a2b，5a6b，7a2b，那么下列各组中三点一定共线的是()AA，B，C BA，C，DCA，B，D DB，C，D答案C解析由向量的加法法则知5a6b7a2b2(a2b)2，又两线段均过点B，故A，B，D三点一定共线21-cn-jy.co6已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A BC D答案B解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确
9、；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，7已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()A2 B3 C4 D5答案B解析0，点M是ABC的重心3，m3.二、填空题8已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.9在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_答案矩形解析如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形10.如图所示，设M，N为ABC内的两点，且，则ABM的面积与ABN的面积之比为_www-2-1-cnjy-com答案23解析如图所示
10、，设，则.由平行四边形法则知，MQAB，.同理.三、解答题11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明F、G分别是AB、AC的中点.同理，.四边形EFGH为平行四边形12.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，求实数k的值解a与b是共线向量，ab，2e1e2(ke1e2)ke1e2，k2.13设e1，e2是两个不共线的向量，2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解若A，B，D三点共线，则与共线，所以可设.又因为(2e1e2)(e13e2)e1
11、4e2，所以2e1ke2(e14e2)，即(4k)e2(2)e1，因为e1，e2是两个不共线的向量，若4k0，则e2e1，于是e1与e2是共线向量，与已知条件矛盾；若20，则e1e2，于是e1与e2是共线向量，与已知条件矛盾，所以故2，k8.14.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD.求证：M、N、C三点共线. 证明设a，b，则由向量减法的三角形法则可知：ab.又N在BD上且BD3BN，()(ab)，(ab)bab，又与的公共点为C，C、M、N三点共线B组 能力提升一、选择题1.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D【
12、答案】A【解析】作出示意图如图所示()().2.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则()A. BC. D【解析】在四边形ABCD中，如图所示，因为，所以四边形ABCD为平行四边形由已知得，由题意知DEFBEA，则，所以()，所以，故选B.【答案】B3.如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1 B2C3 D4【解析】法一：由题图可得()()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.法二：因为2，所以2()，整理，得()，以下同法一法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由得DCAB，且AB4DC.又2，所以E为PB的中点，
13、且.于是，().以下同法一法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m0，h0.由rs，得(4m，2h)r(4m，0)s(3m，3h)，所以解得所以2r3s123.【答案】C4.如图，已知，用，表示，则等于()A.B.CD【答案】C【解析】().故选C.5.在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，其中，R，则等于()A1BC. D【答案】D【解析】由题意易得，所以2，即.故.6.已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230，则()A.123 B123C.123 D123【答案】A【解析】
14、对于A，12312()3()12315，整理，可得161230，这与题干中条件相符合，故选A.7.如图，在ABC中，若，则的值为()A3 B3C2 D2【答案】B【解析】因为，()，所以.又，所以，所以3.故选B.8.已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A1BC1或 D1或【答案】B【解析】由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.二、填空题9已知O为ABC内一点，且2，t，若B，O，D三点共线，则t的值为_【解析】设
15、线段BC的中点为M，则2.因为2，所以，则().由B，O，D三点共线，得1，解得t.【答案】10在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则AD的长为_【解析】因为B，D，C三点共线，所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，因为ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB4，所以ANAM3，AD3.【答案】311在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则_【解析】如图，因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tt()因为M是线段AD的中点，所以()(tt)(t1)t.又
16、，所以(t1)，t，所以.【答案】.12已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积为_【解析】因为0，所以()由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等因为|2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为2，所以BC2，ABC90，所以SABCABBC222.【答案】2三、解答题13在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，求的值【解析】设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c与x
17、ayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以所以的值为.14经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值【解析】设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，则消去，得3.C组 挑战压轴题一、选择题1.如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若m，n，则()Amn是定值，定值为2B2mn是定值，定值为3C.是定值，定值为2D.是定值，定值为3【答案】D【解析】法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由
18、n可得，所以，由BDDC可得，所以，因为m，所以m，整理可得3.法二：因为M，D，N三点共线，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.比较系数知m，(1)n，所以3，故选D.2.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足（）(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心答案B解析为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又0，)，（）的方向与的方向相同而（），点P在上移动点P的轨迹一定通过ABC的内心3A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(，R)，则的取值范围是()A
19、(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)答案B解析设m，则m1，因为，所以m，即，又知A，B，D三点共线，所以1，即m，所以1，故选B.4.在中，为上一点，为上任一点，若，则的最小值是（ ）A9B10C11D12【答案】D【解析】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.二、填空题5.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_【解析】设y，因为yy()y(1y).因为3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)所以y，因为x(1x)，所以xy，所以x.【答案】6.已知为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为_【答案】16【解析】为直线上的不同三点，且，又，当且仅当即时等号成立，的最小值为16，故答案为：16
