1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 等差数列及其前 n 项和 考纲传真 1.理解等差数列的概念 .2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 .3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 .4.了解等差数列与一次函数的关系 (对应学生用书第 69 页 ) 基础知识填充 1等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差是 同一个常数 ，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示 数学语言表达式： an 1 an d(n N ， d 为常数 )，或 an an 1 d(n2 ， d 为常数
2、) (2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a， A， b 成 等差数列 ，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项，即 A a b2 . 2等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1 (n 1)D 通项公式的推广： an am (n m)d(m， n N )， (2)等差数列的前 n 项和公式 Sn n a1 an2 na1 n n2 d(其中 n N ， a1为首项， d 为公 差， an为第 n 项 ) 3等差数列的有关性质 已知数列 an是等差数列， Sn是 an的前 n 项和 (1)若 m n p q(m
3、， n， p， q N )，则有 am an ap aq. (2)等差数列 an的单调性：当 d 0 时， an是 递增 数列；当 d 0 时， an是 递减 数列；当 d 0 时， an是 常数列 (3)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N )是公差为 md 的等差数列 (4)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m， ? 也是等差数列 4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn d2n2 ? ?a1d2 n. 数列 an是等差数列 ?Sn An2 Bn(A， B 为常数 ) 知识拓展 1等差数列前 n 项和的最值 =【 ;精品教育
4、资源文库 】 = 在等差数列 an中，若 a1 0， d 0，则 Sn有最大值，即所有正项之和最大，若 a1 0， d 0，则 Sn有最小值，即所有负项之和最小 2两个等差数列 an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn，则有 anbn S2n 1T2n 1. 3等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则数列 ? ?Snn 也是等差数列 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 n N*，都有 2an 1 a
5、n an 2. ( ) (3)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的 ( ) (4)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S3 6， a3 0，则公差 d 等于 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 D 依题意得 S3 3a2 6，即 a2 2，故 d a3 a2 2，故选 D 3 (2015 全国卷 )设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1 a3 a5 3，则 S5 ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 A a1 a3 a5 3a3 3?a3 1， S5 a1
6、 a52 5a3 5. 4 (2016 全国卷 )已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a10 8，则 a100 ( ) A 100 B 99 C 98 D 97 C 法一： an是等差数列，设其公差为 d， S9 92(a1 a9) 9a5 27， a5 3. 又 a10 8， ? a1 4d 3，a1 9d 8， ? a1 1，d 1. a100 a1 99d 1 991 98.故选 C 法二： an是等差数列， =【 ;精品教育资源文库 】 = S9 92(a1 a9) 9a5 27， a5 3. 在等差数列 an中， a5， a10， a15， ? ， a100成等差数列，且公差
7、 d a10 a5 8 3 5. 故 a100 a5 (20 1)5 98.故选 C 5 (教材改编 )在 100 以内的正整数中有 _个能被 6 整除的数 . 【导学号： 00090161】 16 由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列 an， 则 a1 6， d 6，得 an 6 (n 1)6 6n. 由 an 6n100 ，即 n16 46 1623， 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数 (对应学生用书第 70 页 ) 等差数列的基本运算 (1)(2018 郑州模拟 )已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn为 an的前 n 项和，若 S8 4S4，则 a10 (
8、) A 172 B 192 C 10 D 12 (2)(2018 昆明模拟 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S11 22， a4 12，若 am 30，则 m ( ) 【导学号： 00090162】 A 9 B 10 C 11 D 15 (1)B (2)B (1) 公差为 1， S8 8a1 8 8 12 1 8a1 28， S4 4a1 6. S8 4S4， 8a1 28 4(4a1 6)， 解得 a1 12， a10 a1 9d 12 9 192. (2)设等差数列 an的公差为 d，依题意? S11 11a12 d 22，a4 a1 3d 12，=【 ;精品教育资源文库 】
9、= 解得? a1 33，d 7， am a1 (m 1)d 7m 40 30， m 10. 规律方法 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知三求二，体现了方程思想的应用 2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法 变式训练 1 (1)(2018 娄底模拟 )已知数列 an是首项为 1，公差为 d(d N*)的等差数列，若 81 是该数列中的一项，则公差不可能是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 (2)设 Sn为等差数列 an的前 n
10、项和， a12 8， S9 9，则 S16 _. (1)B (2) 72 (1) 数 列 an是首项为 1，公差为 d(d N*)的等差数列， an 1 (n 1)d， 81 是该数列中的一项， 81 1 (n 1)d， n 80d 1， d， n N*， d 是 80 的因数，故 d 不可能是 3.故选 B (2)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由已知，得? a12 a1 11d 8，S9 9a1 982 d 9， 解得? a1 3，d 1. S16 163 16152 ( 1) 72. 等差数列的判定与证明 已知数列 an中， a1 35， an 2 1an 1(n2 ， n
11、 N*)，数列 bn满足 bn 1an 1(n N*) (1)求证：数列 bn是等差数列 (2)求数列 an中的通项公式 an. 解 (1)证明：因为 an 2 1an 1(n2 ， n N*)， bn 1an 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 n2 时， bn bn 1 1an 1 1an 1 1 1?2 1an 1 1 1an 1 1 an 1an 1 1 1an 1 1 1. 5 分 又 b1 1a1 1 52， 所以数列 bn是以 52为首项， 1 为公差的等差数列 . 7 分 (2)由 (1)知， bn n 72， 9 分 则 an 1 1bn 1 22n 7. 12 分
12、 规律方法 1.等差数列的四种判断方法： (1)定义法： an 1 an d(d 是常数 )?an是等差数列 (解答题 ) (2)等差中项法： 2an 1 an an 2(n N*)?an是等差数列 (解答题 ) (3)通项公式： an pn q(p， q 为常数 )?an是等差数列 (小题 ) (4)前 n 项和公式： Sn An2 Bn(A， B 为常数 )?an是等差数列 (小题 ) 2用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an 1 an d 和 an an 1 d，但它们的意义不同，后者必须加上 “ n2” ，否则 n 1 时， a0无定义 变式训练 2 (1)若 an是公差为 1 的
13、等差数列，则 a2n 1 2a2n是 ( ) A公差为 3 的等差数列 B公差为 4 的等差数列 C公差为 6 的等差数列 D公差为 9 的等差数列 (2)在数列 an中，若 a1 1， a2 12， 2an 1 1an 1an 2(n N*)，则该数列的通项为 ( ) A an 1n B an 2n 1 C an 2n 2 D an 3n (1)B (2)A (1)an n a1 1 a2n 1 2n a1 2， a2n 2n a1 1 a2n 1 2a2n 4n 2a1 3 因此数列 a2n 1 2an是公差为 4 的等差数列，故选 B (2)由已知式 2an 1 1an 1an 2可得
14、1an 1 1an 1an 2 1an 1，知 ? ?1an是首项为 1a1 1，公差为 1a2 1a1=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 1 1 的等差数列，所以 1an n，即 an 1n. 等差数列的性质及应用 (1)(2017 江西红色七 校联考 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 2a7 5 a9，则S9的值为 ( ) A 27 B 36 C 45 D 54 (2)(2018 洛阳统考 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 9， S6 36，则 a7 a8 a9等于 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 (3)已知 Sn 是等差数列 an的前 n
15、项和，若 a1 2 014， S2 0142 014 S2 0082 008 6，则 S2 017_. (1)C (2)B (3)4 034 (1)由 2a7 5 a9 得 a5 a9 5 a9，所以 a5 5，所以 S9a1 a92 9a5 45. (2)由 an是等差数列，得 S3， S6 S3， S9 S6为等差数列 即 2(S6 S3) S3 (S9 S6)， 得到 S9 S6 2S6 3S3 45，即 a7 a8 a9 45，故选 B (3)由等差数列的性质可得 ? ?Snn 也为等差数列 设其公差为 D 则 S2 0142 014 S2 0082 008 6d 6， d 1. 故 S2 0172 017 S11 2 016d 2 014 2 016 2， S2 017 22 017 4 034. 规律方法 应用等差数列的性质应注意两点 (1)在等差数列 an中，若 m n p q 2k(m、 n、 p、 q、 k N*)，则 am an ap aq 2ak是常用的性质 (2)掌握等差数列的性
