1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 综合法、分析法、反证法 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解间接证明的一种基本方法 反证法；了解反证法的思考过程和特点 (对应学生用书第 101 页 ) 基础知识填充 1综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的 条件 出发，利用 定义、公理、定理及运算法则 ，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的 结论 ，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法 从 求证的结论 出发，一步一步地探索保证前一个结论成 立的 充分条件 ，直到归结为这个命题的条件，或者归
2、结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图表示 P?Q1 Q1?Q2 ? Qn?Q Q?P1 P1?P2? 得到一个明显成立的条件 文字语言 因为 ? 所以 ? 或由 ?得 ? 要证 ? 只需证 ? 即证 ? 2.反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的 反面成立 的前提下，经过推理，若推出的结 果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法 (2)反证法的证题步骤： 作出否定结论的假设； 进行推理，导出矛盾； 否定假设，肯定结论 基本能力自测 1 (思考辨
3、析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (2)用反证法证明结论 “ a b” 时，应假设 “ a b” ( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 ( ) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3) (4) 2用分析法证明时出现：欲使 A B，只需 C D，这里 是 的 ( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B 由题意可知 ? ，故 是 的必要条件
4、3用反证法证明命题： “ 已知 a， b 为实数，则方程 x2 ax b 0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ( ) A方程 x2 ax b 0 没有实根 B方程 x2 ax b 0 至多有一个实根 C方程 x2 ax b 0 至多有两个实根 D方程 x2 ax b 0 恰好有两个实根 A “ 方程 x2 ax b 0至少有一个实根 ” 的反面是 “ 方程 x2 ax b 0没有实根 ” ，故选 A. 4设 a， b， c 都是正数，则 a 1b， b 1c， c 1a三个数 ( ) A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 D ? ?a 1b ? ?b
5、 1c ? ?c 1a ? ?a 1a ? ?b 1b ? ?c 1c 6 ， 当且仅当 a b c 时取等号， 三个数中至少有一个不小于 2. 5 (教材改编 )在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列， a， b， c 成等比数列，则 ABC 的形状为 _三角形 等边 由题意 2B A C， 又 A B C ， B 3 ，又 b2 ac， 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac， a2 c2 2ac 0，即 (a c)2 0， a c， A C， A B C 3 ， ABC 为等边三角形 =【 ;精品
6、教育资源文库 】 = (对应学生用书第 102 页 ) 综合法 (2017 江苏高考 )对于给定的正整数 k，若数列 an满足： an k an k 1 ? an 1an 1 ? an k 1 an k 2kan，对任意正整数 n(nk)总成立，则称数列 an是 “ P(k)数列 ” (1)证明：等差数列 an是 “ P(3)数列 ” ； (2)若数列 an既是 “ P(2)数列 ” ，又是 “ P(3)数列 ” ，证明： an是等差数列 证明 (1)因为 an是等差数列，设其公差为 d，则 an a1 (n 1)d， 从而，当 n4 时， an k an k a1 (n k 1)d a1 (
7、n k 1)d 2a1 2(n 1)d 2an， k 1,2,3， 所以 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an， 因此等差数列 an是 “ P(3)数列 ” (2)数列 an既是 “ P(2)数列 ” ，又是 “ P(3)数列 ” ，因此， 当 n3 时， an 2 an 1 an 1 an 2 4an， 当 n4 时， an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an. 由 知， an 3 an 2 4an 1 (an an 1)， an 2 an 3 4an 1 (an 1 an) 将 代入 ，得 an 1 an 1 2an，其中 n4 ，
8、所以 a3， a4， a5， ? 是等差数列，设其公差为 d. 在 中，取 n 4，则 a2 a3 a5 a6 4a4，所以 a2 a3 d ， 在 中，取 n 3，则 a1 a2 a4 a5 4a3，所以 a1 a3 2d ， 所以数列 an是等差数列 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写 .综合法的适用范围： 定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式 或不等式； 已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 . 跟踪训练 设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1. 证明： (1)ab b
9、c ac 13； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)a2bb2cc2a1. 【导学号： 79140209】 证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac， 得 a2 b2 c2 ab bc ca， 由题设得 (a b c)2 1， 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca)1 ， 即 ab bc ca 13. (2)因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c. 所以 a2bb2cc2a1. 分析法 已知函
10、数 f(x) 3x 2x，求证：对于任意的 x1， x2 R，均有 f(x1) f(x2)2 f? ?x1 x22 . 规律方法 1.分析法的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体=【 ;精品教育资源文库 】 = 时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法 . 2.利用分析法证明问题的思路与书写格式 分析法的特点和思路是 “ 执果索因 ” ，逐步寻找结论成立的充分条件，即从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ，逐步靠拢 “ 已知 ” 或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“ 欲证 只需证 已知
11、” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性 . 跟踪训练 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， A， B， C 的对边分别为 a， b， c. 求证： 1a b 1b c 3a b c. 证明 要证 1a b 1b c 3a b c， 即 证 a b ca b a b cb c 3，也就是 ca b ab c 1， 只需证 c(b c) a(a b) (a b)(b c)， 需证 c2 a2 ac b2， 又 ABC 三内角 A， B， C 成等差数列， 故 B 60 ， 由余弦定理，得 b2 c2 a2 2accos 60 ， 即 b2 c2 a2 ac，故 c2 a2 a
12、c b2成立 于是原等式成立 反证法 设 a0， b0，且 a b 1a 1b.证明： (1)a b2 ； (2)a2 a0， b0，得 ab 1. (1)由基本不等式及 ab 1， 有 a b2 ab 2，即 a b2. (2)假设 a2 a0，得 0a1； 同理， 0b1，从而 ab1，这与 ab 1 矛盾 故 a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 规律方法 用反证法证明问题的步骤 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立 否定结论 归谬：将 “ 反设 ” 作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明
13、显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “ 反设 ” 的谬误 .既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立 命题成立 跟踪训练 等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1 2， S3 9 3 2. (1)求数列 an的通项公式 an与前 n 项和 Sn； (2)设 bn Snn(n N )，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列 . 【导学号： 79140210】 解 (1)设等差数列 an的公差为 d. 由已知得 ? a1 2 1，3a1 3d 9 3 2，所以 d 2，故 an 2n 1 2， Sn n(n 2) (2)证明：由 (1)得 bn Snn n 2， 假设数列 bn中存在三项 bp， bq， br(p， q， r N ，且互不相等 )成等比数列，则 b2q bpbr. 即 (q 2)2 (p 2)(r 2)， 所以 (q2 pr) 2(2q p r) 0， 因为 p， q， r N ，所以? q2 pr 0，2q p r 0， 所以 ? ?p r22 pr， (p r)2 0， 所以 p r，与 p r 矛盾， 所以数列 bn中任意不同的三项都不可能成等比数列
