1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 简单几何体的表面积与体积 考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 (对应学生用书第 95 页 ) 基础知识填充 1多面体的表 (侧 )面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是 侧面积 与底面面积之和 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l 3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 名 称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V Sh 锥体
2、 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13Sh 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h 球 S 4 R2 V 43 R3 知识拓展 1正四面体的表面积与体积 棱长为 a 的正四面体，其表面积为 3a2，体积为 212a3. 2几个与球有关 的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2R A =【 ;精品教育资源文库 】 = 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2A (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径
3、为 R，则 2Ra2 b2 c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 1，棱长为 a 的正四面体，其内切球半径 R 内 612a，外接球半径 R 外 64 A 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积 ( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方 ( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 ( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 32 A ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知圆锥的表面积等于 12 cm 2，其侧面展开图是一
4、个半圆，则底面圆的半径为 ( ) A 1 cm B 2 cm C 3 cm D 32 cm B S 表 r2 rl r2 r2 r 3 r2 12 ， r2 4， r 2(cm) 3 (2015 全国卷 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米 (如图 721，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ” 已知 1 斛米的 体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ) 图 721 =【
5、;精品教育资源文库 】 = A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则 2 r 8，所以 r 16 ，所以米堆的体积为 V 14 13 r25 12 ? ?16 25 3209 (立方尺 )故堆放的米约有 3209 1.6222( 斛 )故选 B 4 (2017 全国卷 )长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O的表面积为 _ 14 长方体的顶点都在球 O 的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为 R， 则 2R 32 22 12 14. 球 O 的表面积为 S 4 R2 4 ? ?14
6、2 2 14. 5 (2017 郑州质检 )某几何体的三视图如图 722 所示 (单位： cm)，则该几何体的体积是_cm3. 【导学号： 00090233】 图 722 323 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成， V V 正方体 V 四棱锥 8 cm3 83 cm3 323 cm3. (对应学生用书第 96 页 ) 简单几何体的表面积 (1)某几何体的三视图如图 723 所示 ，则该几何体的表面积等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 723 A 8 2 2 B 11 2 2 C 14 2 2 D
7、15 (2)(2018 江西七校联考 )若某空间几何体的三视图如图 724 所示，则该几何体的表面积是 ( ) 【导学号： 00090234】 图 724 A 48 B 48 C 48 2 D 48 2 (1)B (2)A (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示 直角梯形斜腰长为 12 12 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 4 2 2 2 2 82 2，两底面的面积和为 2 121(1 2) 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以该几何体的表面积为 8 2 2 3 11 2 2. (2)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形 (边
8、长为 2)，高为 5，半球的半径是 1，那么该几何体的表面积为 S 222 245 1 2 21 2 48 ，故选 A 规律方法 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和 (2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理 2若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解 变式训练 1 (1)(2016 全国卷 )如图 725，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) 图 725 A 18 36 5 B 54 18 5 C 90
9、 D 81 (2)(2016 全国卷 )如图 726，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 283 ，则它的表面积是 ( ) 图 726 A 17 B 18 C 20 D 28 (1)B (2)A (1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为 (33 36 33 5)2 54 18 5.故选 B (2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 14，得到的几何体如图设=【 ;精品教育资源文库 】 = 球的半径为 R，则 43 R3 18 43 R3 283 ，解得 R 2.因
10、此它的表面积为 784 R2 34 R2 17. 故选 A 简单几何体的体积 (1)在梯形 ABCD 中， ABC 2 ， AD BC， BC 2AD 2AB 2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A 23 B 43 C 53 D 2 (2)(2017 全国卷 )如图 727，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( ) 图 727 A 90 B 63 C 42 D 36 (1)C (2)B (1)过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形
11、ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥而得到的，如图所示 由于 V 圆柱 AB2 BC 1 22 2 ， V 圆锥 13 CE2 DE 131 2(2 1) 3 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以该几何体的体积 V V 圆柱 V 圆锥 2 3 53 . (2)法一： (割补法 )如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体 是一个圆柱被截去上面虚线部分所得 将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体
12、积的 12，所以该几何体的体积 V 3 24 3 26 12 63. 故选 B 法二： (估值法 )由题意，知 12V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆柱 3 210 90 ， 45 V几何体 90. 观察选项可知只有 63 符合 故选 B 规律方法 1.若所给定的几何体是柱体、锥体 或台体，则可直接利用公式进行求解 2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法 (转换的原则是使底面面积和高易求 )、分割法、补形法等方法进行求解 3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 变式训练 2 (1)(2018 唐山模拟 )一个几何体的三视图
13、如图 728 所示，则其体积为( ) 图 728 A 2 B 2 4 C 4 D 2 2 (2)(2016 天津高考 )已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图 如图=【 ;精品教育资源文库 】 = 729 所示 (单位： m)，则该四棱锥的体积为 _m3. 【导学号： 00090235】 图 729 (1)A (2)2 (1)该几何体为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积 V 12212 121 22 2 . 故选 A (2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1，所以其体积 V 13Sh 13213 2. 多面体与球的切、接问题 (2016 全国卷 )在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC，AB 6， BC 8， AA1 3，则 V 的最大值是 ( ) A 4 B 92 C 6 D 323 B 由 AB BC， AB 6， BC 8，得 AC 10，要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面 ABC 的内切圆的
