1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 椭 圆 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 (范围、对称性、顶点、离心率 ).3.理解数形结合思想 .4.了解椭圆的简单应用 (对应学生用书第 138 页 ) 基础知识填充 1椭圆的定义 把平面内到两个定点 F1， F2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的集合叫作 椭圆 这两个定点叫作椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a 0， c 0，且 a，
2、c 为常数： (1)若 a c，则集合 P 为椭圆； (2)若 a c，则集合 P 为线段； (3)若 a c，则集合 P 为空集 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(ab0) y2a2x2b2 1(ab0) 图形 性质 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b) A1(0， a)， A2(0， a)， B1(b,0)， B2(b,0) 离心率 e ca，且 e(0,1) a， b， c 的关系 c2 a2 b2 知识拓展 1.点 P
3、(x0， y0)和椭圆的位置关系： (1)P(x0， y0)在椭圆内 ?x20a2y20b21.(2)P(x0， y0)在椭圆上 ?x20a2y20b2 1.(3)P(x0， y2)在椭圆外 ?x20a2y20b2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2对于 x2a2b2b2 1(a b 0)如图 851. 图 851 则： (1)S PF1F2 b2tan 2. (2)|PF1| a ex0， |PF2| a ex0. (3)a c| PF1| a c. (4)过 P(x0， y0)点的切线方程为 x0xa2 y0yb2 1. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的
4、打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ) ( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 ( ) (5)方程 mx2 ny2 1(m 0， n 0， m n)表示的曲线是 椭圆 ( ) (6)x2a2y2b2 1(a b 0)与y2a2x2b2 1(a b 0)的焦距相同 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (
5、2017 浙江高考 )椭圆 x29y24 1 的离心率是 ( ) A 133 B 53 C 23 D 59 B 椭圆方程为 x29y24 1， a 3， c a2 b2 9 4 5. e ca 53 . 故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (教材改编 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 12，则 C 的方程是( ) A x23y24 1 Bx24y23 1 C x24y22 1 Dx24y23 1 D 椭圆的焦点在 x 轴上， c 1. 又离心率为 ca 12，故 a 2， b2 a2 c2 4 1 3， 故椭圆的方程为 x24y23 1. 4椭圆 C
6、： x225y216 1 的左右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点，则 F1AB的周长为 ( ) A 12 B 16 C 20 D 24 C F1AB 的周长为 |F1A| |F1B| |AB| |F1A| |F2A| |F1B| |F2B| 2a 2a 4a. 在椭圆 x225y216 1 中， a2 25， a 5， 所以 F1AB 的周长为 4a 20，故选 C 5若方程 x25 ky2k 3 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 _ (3,4)(4,5) 由已知得? 5 k 0，k 3 0，5 k k 3，解得 3 k 5 且 k4. (对应学生用书第
7、 139 页 ) 椭圆的定义及其应用 (1)已知两圆 C1： (x 4)2 y2 169， C2： (x 4)2 y2 9，动圆在圆 C1 内部且和圆C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A x264y248 1 Bx248y264 1 C x248y264 1 Dx264y248 1 (2)F1， F2是椭圆 x29y27 1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且 AF1F2 45 ，则 AF1F2的面积为 ( ) A 7 B 74 C 72 D 7 52 (1)D (2)C (1)设圆 M 的半径为 r，则 |MC1| |MC2
8、| (13 r) (3 r) 16，又|C1C2| 8 16， 动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、 C2为焦点的椭圆，且 2a 16,2c 8，则 a 8， c 4， b2 48，故所求的轨迹方程为 x264y248 1. (2)由题意得 a 3， b 7， c 2， | F1F2| 2 2， |AF1| |AF2| 6. | AF2|2 |AF1|2 |F1F2|2 2|AF1| F1F2|cos 45 |AF1|2 4|AF1| 8， (6 |AF1|)2 |AF1|2 4|AF1| 8. | AF1| 72， S AF1F2 12 722 2 22 72. 规律方法 1.椭圆定义的应用主要
9、有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 . 2.椭圆的定义式必须满足 2a |F1F2|. 跟踪训练 (1)设 F1， F2分别是椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的左，右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A， B两点， |AF1| 3|F1B|，且 |AB| 4， ABF2的周长为 16，则 |AF2| _. 【导学号： 79140284】 (2)已知 F1、 F2是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2，若 PF1F2的面积为 9，则 b _. (1
10、)5 (2)3 (1)由 |AF1| 3|F1B|， |AB| 4，得 |AF1| 3， ABF2的周长为 16， 4 a 16， a 4. 则 |AF1| |AF2| 2a 8， | AF2| 8 |AF1| 8 3 5. (2)设 |PF1| r1， |PF2| r2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? r1 r2 2a，r21 r22 4c2， 2 r1r2 (r1 r2)2 (r21 r22) 4a2 4c2 4b2， S PF1F2 12r1r2 b2 9， b 3. 椭圆的标准方程 (1)若直线 x 2y 2 0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A
11、x25 y2 1 B x24y25 1 C x25 y2 1 或 x24y25 1 D以上答案都不对 (2)已知椭圆的中心在原点，离心率 e 12，且它的一个焦点与抛物线 y2 4x 的焦点重合，则此椭圆方程为 ( ) A x24y23 1 Bx28y26 1 C x22 y2 1 D x24 y2 1 (1)C (2)A (1)直线与坐标轴的交点分别为 (0,1)， ( 2,0)， 由题意知当焦点在 x 轴上时， c 2， b 1，所以 a2 5，所求椭圆的标准方程为 x25y2 1. 当焦点在 y 轴上时， b 2， c 1，所以 a2 5，所求椭圆的标准方程为 y25x24 1. (2)
12、依题意，可设椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)，由已知可得抛物线的焦点为 ( 1,0)，所以 c 1，又离心率 e ca 12，解得 a 2， b2 a2 c2 3，所以椭圆方程为 x24y23 1. 规律方法 求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据 条件建立关于 a， b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2 By2 A 0， B 0， A B 的形=【 ;精品教育资源文库 】 = 式 . 跟踪训练 (1)(2017 湖南长沙一模 )椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，
13、其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为 ( ) A x22y22 1 Bx22 y2 1 C x24y22 1 Dy24x22 1 (2)已知 F1( 1,0)， F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交 C 于A， B 两点，且 |AB| 3，则 C 的方程为 _. 【导学号： 79140285】 (1)C (2)x24y23 1 (1)由条件可知 b c 2， a 2， 椭圆的标准方程为x24y22 1.故选 C (2)依题意，设椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0) 过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线
14、C 截得弦长 |AB| 3， 点 A? ?1， 32 必在椭圆上， 1a2 94b2 1. 又由 c 1，得 1 b2 a2. 由 联立，得 b2 3， a2 4. 故所求椭圆 C 的方程为 x24y23 1. 椭圆的几何性质 角度 1 求离心率的值或范围 (2017 全国卷 ) 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A 63 B 33 C 23 D 13 A 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a. 又直线 bx ay 2ab 0
15、 与圆相切， =【 ;精品教育资源文库 】 = 圆心到直线的距离 d 2aba2 b2 a，解得 a 3b， ba 13， e ca a2 b2a 1 ?ba2 1 ? ?132 63 . 故选 A 角度 2 根据椭圆的性质求参数 已知椭圆 x2m 2y210 m 1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于 ( ) A 8 B 7 C 6 D 5 A 椭圆 x2m 2y210 m 1 的长轴在 x 轴上， ? m 2 0，10 m 0，m 2 10 m，解得 6 m 10. 焦距为 4， c2 m 2 10 m 4，解得 m 8. 规律方法 求椭圆离心率的方法 直接求出 a， c 的值，利用离心率公式直 接求解 . 列出含有 a， b， c 的齐次方程 或不等式 ，借助于 b2 a2 c2消去 b，转化为含有 e 的方程 或不等式 求解 . 利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 .建立关于 a、 b、 c 的方程或不等式 . 跟踪训练 (1)已知椭圆 x29y24 k 1 的离心率为45，则 k
