1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十六 ) 参数方程 1 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为? x 3cos ，y sin ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为? x a 4t，y 1 t (t 为参数 ) (1)若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 A 【导学号： 00090374】 解 (1)曲线 C 的普通方程 为 x29 y2 1. 1 分 当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0. 2 分 由? x 4y 3 0，x29 y2 1， 解得 ? x 3，y
2、0 或 ? x 2125，y 2425.从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0)， ? ? 2125， 2425 . 4 分 (2)直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点 (3cos ， sin )到 l 的距离为d |3cos 4sin a 4|17 . 5 分 当 a 4 时， d 的最大值为 a 917. 由题设得 a 917 17，所以 a 8； 7 分 当 a 4 时， d 的最大值为 a 117 . 由题设得 a 117 17， 所以 a 16. 9 分 综上， a 8 或 a 16. 10 分 2 (2018 南昌模拟 )已知曲线 C 的极坐标方程是 2，
3、以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为? x 12t，y 2 3t(t 为参数 ) (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设曲线 C 经过伸缩变换? x x，y 12y 得到曲线 C ，过点 F( 3， 0)作倾斜角为 60的直线交曲线 C 于 A， B 两点，求 |FA| FB|. 解 (1)直线 l 的普通方程为 2 3x y 2 0， 2 分 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 4.4 分 (2)? x x，y 12y， C 的直角坐标方程为x24 y2 1. 5 分 易知直线 AB
4、 的参数方程为? x 3 12t，y 32 t(t 为参数 ). 6 分 将直线 AB 的参数方程代入曲线 C ： x24 y2 1，得 134t2 3t 1 0，则 t1 t2413，8 分 |FA| FB| |t1 t2| 413. 10 分 3 (2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为极点， x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l的参数方程是? x tcos ，y tsin (t为参数 )， l与 C交于 A， B两点， |AB| 10，求 l 的斜率 解 (1)由 x cos ，
5、y sin 可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0. 4 分 (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极 坐标方程得 212 cos 11 0， 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. 8 分 |AB| | 1 2| 1 2 2 4 1 2 144cos2 44. 由 |AB| 10得 cos2 38， tan 153 . 所以 l 的斜率为 153 或 153 . 10 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2018 长春模拟 )在直角坐标系 xOy 中 ，
6、 以坐标原点为 极点 ， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 ， 半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， ? ?0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l： y 3x 2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 解 (1)C 的普通方程为 (x 1)2 y2 1(0 y1) 可得 C 的参数方程为? x 1 cos t，y sin t (t 为参数， 0 t).4 分 (2)设 D(1 cos t， sin t)，由 (1)知 C 是以 C(1,0)为圆心， 1 为半径的上半圆因为 C在点 D 处的切线与 l 垂直， 所
7、以直线 CD 与 l 的斜率相同， tan t 3， t 3.8 分 故 D 的直角坐标为 ? ?1 cos 3 ， sin 3 ， 即 ? ?32， 32 .10 分 5 (2017 湖北七市三联 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为? x sin cos ，y 1 sin 2 ( 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin? ? 4 2，曲线 C2的极坐标方程为 2 2acos 34 (a 0) (1)求直线 l 与 曲线 C1的交点的极坐标 ( ， )( 0,0 2) ； (2)若直线 l 与 C2相切，求 a
8、的值 解 (1)曲线 C1的普通方程为 y x2， x 2， 2，直线 l 的直角坐标方程为 xy 2， 联立? y x2，x y 2， 解得? x 1，y 1 或 ? x 2，y 4 (舍去 ) 故直线 l 与曲线 C1的交点的直角坐标为 (1,1)，其极坐标为 ? ?2， 4 .4 分 (2)曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y2 2ax 2ay 0，即 =【 ;精品教育资源文库 】 = (x a)2 (y a)2 2a2(a 0).8 分 由直线 l 与 C2相切，得 | a a 2|2 2a，故 a 1.10 分 6 (2017 福州质检 )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
9、数方程为? x 3cos ，y sin (为参数 )，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin? ? 4 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角； (2)设点 P(0,2)， l 和 C 交于 A， B 两点，求 |PA| |PB|. 【导学号： 00090375】 解 (1)由? x 3cos ，y sin 消去参数 ，得x29 y2 1， 即 C 的普通方程为 x29 y2 1. 2 分 由 sin? ? 4 2，得 sin cos 2， (*) 将? x cos ，y sin 代入 (*)，化简得 y x 2， 所以直线 l 的倾斜角为 4. 4 分 (2)由 (1)知，点 P(0,2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为? x tcos 4 ，y 2 tsin 4(t为参数 )，即? x 22 t，y 2 22 t(t 为参数 )， 代入 x29 y2 1 并化简，得 5t2 18 2t 27 0， (18 2)2 4527 108 0， 8 分 设 A， B 两点对应的参数 分别为 t1， t2， 则 t1 t2 18 25 0， t1t2 275 0， 所以 t1 0， t2 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |PA| |PB| |t1| |t2| (t1 t2) 18 25 . 10 分
