1、课时过关检测(十三) 导数的概念及运算A级基础达标1一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为yh(t)，当t3时，水面下降的速度为()A cm/sB cm/sC cm/sD cm/s解析：B由题意得，h(t)，所以h(3)，故当t3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B2设某商品的需求函数为Q1005P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，其中P，Q是Q的导数，则商品价格P的取值范围是()A(0,10)B(10,20)C(20,30)D(20，)解析：B根据题意得P，由1得10，即0，解得10Pf(2)Bf(3)f(3
2、)Df(3)f(2)f(3)0，故A错误，B正确设A(2，f(2)，B(3，f(3)，则f(3)f(2)kAB，由题图知f(3)kABf(2)，即f(3)f(3)f(2)f(2)，故C、D正确6(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是()Af(x)x2Bf(x)exCf(x)ln xDf(x)tan x解析：AC若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)ex，则f(x)ex，令exex，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)ln x，则f
3、(x)，令ln x，在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)tan x，则f(x)，令tan x，化简得sin xcos x1，变形可得sin 2x2，无解，故D不符合要求故选A、C7已知点P在曲线yx3x上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是_解析：yx3x，y3x211，tan 1，0，过P点的切线的倾斜角的取值范围是答案：8(2022南平二模)请写出与曲线f(x)x31在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)_解析：f(x)3x2，f(0)0，曲
4、线f(x)x31在点(0,1)处的切线方程为y1，所有在点(0,1)处的切线方程为y1的函数都是正确答案答案：x21(答案不唯一)9(1)求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程；(2)已知f(x)在R上可导，F(x)f(x31)f(1x3)，求F(1)的值解：(1)f(x)3x26x2设切线的斜率为k可知原点在曲线上当切点是原点时，kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为y2x当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)(x00)，则有y0x3x2x0，kx3x02，()又因为kf(x0)3x6x02()由()()得x0，k所以所求曲线的切线方程为yx综上，所求曲线的切线方程为y2x或yx(2
5、)由题知F(x)3x2f(x31)3x2f(1x3)，则F(1)3f(0)3f(0)0B级综合应用10已知P是曲线ysin x(x0，)上的动点，点Q在直线x2y60上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为()ABCD解析：C如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线ysin x(x0，)在点P处的切线与直线x2y60平行，对函数ysin x求导得ycos x，令y，可得cos x，0x，解得x故选C11(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f(x)，f(x)
6、在(a，b)上的导函数为f(x)，若在(a，b)上f(x)0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析：ABC对于A，由f(x)sin xcos x，得f(x)cos xsin x，则f(x)sin xcos x(sin xcos x)，因为x，所以f(x)sin xcos x(sin xcos x)0，所以此函数是凸函数；对于B，由f(x)ln x2x，得f(x)2，则f(x)，因为x，所以f(x)0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)x32x1，得f(x
7、)3x22，则f(x)6x，因为x，所以f(x)6x0，所以此函数不是凸函数，故选A、B、C12我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设f(x)ln(1x)，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为_，用此结论计算ln 2 022ln 2 021_解析：函数f(x)ln(1x)，则f(x)，f(0)1，f(0)0，切线方程为yxln 2 022ln 2 021lnf，
8、根据以直代曲，x非常接近切点x0可以将x代入切线近似代替f，即f答案：yx13已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0)，则由题意并结合(1)中结论可知解得1k0或k1，则1x24x30或x24x31，解得x(，2(1,3)2，)C级迁移创新14已知函数f(x)x2cos x的图象在点(t，f(t
9、)处的切线的斜率为k，则函数kg(t)的大致图象是()解析：A对f(x)求导，得f(x)xsin x，则kf(t)g(t)tsin t由f(t)f(t)，可知f(t)为奇函数，即kg(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D；又当t时，gsin 10，排除C故选A15(2022郑州名校联考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66
10、a0，所以a2(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0
