2023届高三数学一轮复习课时过关检测(13)导数的概念及运算.doc

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1、课时过关检测(十三) 导数的概念及运算A级基础达标1一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度y(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数为yh(t),当t3时,水面下降的速度为()A cm/sB cm/sC cm/sD cm/s解析:B由题意得,h(t),所以h(3),故当t3时,水面下降的速度为 cm/s,故选B2设某商品的需求函数为Q1005P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性大于1,其中P,Q是Q的导数,则商品价格P的取值范围是()A(0,10)B(10,20)C(20,30)D(20,)解析:B根据题意得P,由1得10,即0,解得10Pf(2)Bf(3)f(3

2、)Df(3)f(2)f(3)0,故A错误,B正确设A(2,f(2),B(3,f(3),则f(3)f(2)kAB,由题图知f(3)kABf(2),即f(3)f(3)f(2)f(2),故C、D正确6(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x),若存在x0使得f(x0)f(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是()Af(x)x2Bf(x)exCf(x)ln xDf(x)tan x解析:AC若f(x)x2,则f(x)2x,令x22x,得x0或x2,方程显然有解,故A符合要求;若f(x)ex,则f(x)ex,令exex,此方程无解,故B不符合要求;若f(x)ln x,则f

3、(x),令ln x,在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(图略),可得两函数的图象有一个交点,所以方程f(x)f(x)存在实数解,故C符合要求;若f(x)tan x,则f(x),令tan x,化简得sin xcos x1,变形可得sin 2x2,无解,故D不符合要求故选A、C7已知点P在曲线yx3x上移动,设点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是_解析:yx3x,y3x211,tan 1,0,过P点的切线的倾斜角的取值范围是答案:8(2022南平二模)请写出与曲线f(x)x31在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)_解析:f(x)3x2,f(0)0,曲

4、线f(x)x31在点(0,1)处的切线方程为y1,所有在点(0,1)处的切线方程为y1的函数都是正确答案答案:x21(答案不唯一)9(1)求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程;(2)已知f(x)在R上可导,F(x)f(x31)f(1x3),求F(1)的值解:(1)f(x)3x26x2设切线的斜率为k可知原点在曲线上当切点是原点时,kf(0)2,所以所求曲线的切线方程为y2x当切点不是原点时,设切点是(x0,y0)(x00),则有y0x3x2x0,kx3x02,()又因为kf(x0)3x6x02()由()()得x0,k所以所求曲线的切线方程为yx综上,所求曲线的切线方程为y2x或yx(2

5、)由题知F(x)3x2f(x31)3x2f(1x3),则F(1)3f(0)3f(0)0B级综合应用10已知P是曲线ysin x(x0,)上的动点,点Q在直线x2y60上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()ABCD解析:C如图所示,若使|PQ|取得最小值,则曲线ysin x(x0,)在点P处的切线与直线x2y60平行,对函数ysin x求导得ycos x,令y,可得cos x,0x,解得x故选C11(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)

6、在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b)上f(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,以下四个函数在上是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析:ABC对于A,由f(x)sin xcos x,得f(x)cos xsin x,则f(x)sin xcos x(sin xcos x),因为x,所以f(x)sin xcos x(sin xcos x)0,所以此函数是凸函数;对于B,由f(x)ln x2x,得f(x)2,则f(x),因为x,所以f(x)0,所以此函数是凸函数;对于C,由f(x)x32x1,得f(x

7、)3x22,则f(x)6x,因为x,所以f(x)6x0,所以此函数不是凸函数,故选A、B、C12我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设f(x)ln(1x),则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为_,用此结论计算ln 2 022ln 2 021_解析:函数f(x)ln(1x),则f(x),f(0)1,f(0)0,切线方程为yxln 2 022ln 2 021lnf,

8、根据以直代曲,x非常接近切点x0可以将x代入切线近似代替f,即f答案:yx13已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解:(1)由题意得f(x)x24x3,则f(x)(x2)211,即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1,)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0),则由题意并结合(1)中结论可知解得1k0或k1,则1x24x30或x24x31,解得x(,2(1,3)2,)C级迁移创新14已知函数f(x)x2cos x的图象在点(t,f(t

9、)处的切线的斜率为k,则函数kg(t)的大致图象是()解析:A对f(x)求导,得f(x)xsin x,则kf(t)g(t)tsin t由f(t)f(t),可知f(t)为奇函数,即kg(t)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B、D;又当t时,gsin 10,排除C故选A15(2022郑州名校联考)已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12和直线m:ykx9,且f(1)0(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是曲线yg(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由解:(1)由已知得f(x)3ax26x6a,因为f(1)0,所以3a66

10、a0,所以a2(2)存在由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线yg(x)的切线,则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06,所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0),将(0,9)代入切线方程,解得x01当x01时,切线方程为y9;当x01时,切线方程为y12x9由(1)知f(x)2x33x212x11,由f(x)0得6x26x120,解得x1或x2在x1处,yf(x)的切线方程为y18;在x2处,yf(x)的切线方程为y9,所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9由f(x)12得6x26x1212,解得x0或x1在x0处,yf(x)的切线方程为y12x11;在x1处,yf(x)的切线方程为y12x10,所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9综上所述,yf(x)与yg(x)的公切线是y9,此时k0

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