1、高中数学选择性必修一（人教A版2019)同步讲义与练习1.1.1 空间向量及其线性运算11.1.2 空间向量的数量积运算61.1.3 共线向量与共面向量121.2.1 空间向量基本定理181.2.2 空间向量基本定理的初步应用 251.3.1 空间直角坐标系331.3.2 空间向量运算的坐标表示 391.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示441.4.2 空间中直线、平面的平行 501.4.3 空间中直线、平面的垂直561.4.1 空间的距离问题631.4.5 空间的夹角问题 69第一章章末复习76第一章章末练习1 80第一章章末练习2 83第一章章末检测试卷872.1.1 倾斜角与斜率91
2、2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 962.2.1 直线的点斜式方程1012.2.2 直线的两点式方程 1052.2.3 直线的一般式方程 1092.3.1 两条直线的交点坐标1142.3.2 两点间的距离公式1182.3.3 点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离1212.4.1 圆的标准方程1252.4.2 圆的一般方程1292.5.1 直线与圆的位置关系1332.5.2 直线与圆的方程的应用 1372.5.3 圆与圆的位置关系1412.6 微专题与圆有关的最值问题146第二章：章末复习147第二章章末练习1 150第二章章末练习2 152第二章章末检测试卷1543.1.1 椭圆及其标
3、准方程1573.1.2 椭圆的几何性质1623.1.3 椭圆的标准方程及性质的应用1673.2.1 双曲线及其标准方程1733.2.2 双曲线的简单几何性质1783.2.3 双曲线的标准方程及性质的应用 1833.3.1 抛物线及其标准方程187第1页 共2页3.3.2 抛物线的简单几何性质 1923.3.3 抛物线的方程及性质的应用 1973.4 微专题：圆锥曲线的离心率202第三章章末复习203第三章章末练习1 206第三章章末练习2 208选择性必修一模块综合试卷211第2页 共2页1.1.1 空间向量及其线性运算知识点一 空间向量的概念1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长
4、度或模：向量的大小3表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c， 表示；若向量a 的起点是A，终点是B，也可记作AB， 其模记为|a| 或|AB|.4几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0 的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1 的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫( 平行向量) 做共线向量或平行向量规定：对于任意向量a，都有0 a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量1. 思考： 空间中的两个向量是不是共面
5、向量？知识点二 空间向量的线性运算加法 a + b = OA + AB= OB空间向量 减法 a - b = OA- OC = CA的线性运算数乘 当 0 时 ，a = OA 当 |CD|，则AB CDD. 相等向量其方向必相同【跟踪训练1.1】. ( 多选) 下列说法中正确的是 ( )A. 若|a| = |b|，则a，b 的长度相同，方向相同或相反B. 若向量a 是向量b 的相反向量，则|a| = |b|C. 空间向量的加法满足结合律D. 任一向量与它的相反向量不相等【跟踪训练1.2】. 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；平行且模相等的两个
6、向量是相等向量；若a b，则|a| |b|；两个向量相等，则它们的起点与终点相同二、空间向量的线性运算【例2】. 在空间四边形ABCD 中，G 为BCD 的重心，E，F，H 分别为边CD，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式 (1)AG+ 1 + 1 ； (2) 1BE CA3 2 2 (AB + AC - AD)第2页 共 217 页随堂演练1. “两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件2. 向量a，b 互为相反向量，已知|b| = 3，则下列结论正确的是 ( )A. a = b B.
7、a + b 为实数0C. a 与b 方向相同 D. |a| = 33. 设A，B，C 是空间任意三点，下列结论错误的是 ( ) A. AB B. AB+ BC = AC C. AB D. AB- AC = CB + BC + CA = 0= -BA 4. 设有四边形ABCD，O 为空间任意一点，且AO ，+ OB = DO + OC则四边形ABCD 是 ( )A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形5. 化简：5(3a - 2b) + 4(2b - 3a) = _.1. ( 多选) 下列说法中，正确的是 ( )A模为0 是一个向量方向不确定的充要条件 B若向量AB，CD
8、与CD 同向，则AB满足|AB| = |CD|，AB CD C若两个非零向量AB，CD 满足AB ，CD 互为相反向量+ CD = 0，则AB D.AB 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合= CD 2. 化简PM A. PM- PN + MN所得的结果是 ( )B. NPC. 0 D. MN 3. 在空间四边形OABC 中 ，OA 等于 ( )+ AB - CB A. OA B. AB C. OC D. AC4. 在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，下列选项中化简后为零向量的是 ( ) A. AB 1D1 1A1 B. AB+ A + C - AC + BB1 C. AB D.
9、AC+ AD + AA + CB1 1第3页 共 217 页 5. 如果向量AB，AC，BC满足|AB| = |AC|+|BC|，则 ( ) A. AB B. AB= AC + BC = -AC - BC C. AC 与BC 同向 D. AC 与CB 同向 6. 设A，B，C，D 为空间任意四点，则AC- BC + BD = _.7. 在正方体ABCD -A 1B1C1D1 中，化简AB1B1C1D1 中，化简AB - CD + BC - DA 的结果是_8. 已知向量a，b，c 互相平行，其中a，c 同向，a，b 反向，|a| = 3，|b| = 2，|c| = 1，则|a + b + c|
10、 = _.9. 如图所示的是平行六面体ABCD -A1B1C1D1，化简下列各式：(1)AB + AD + AA ； (2)DD1 1 - AB + BC.10. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB 的中点， 请化简：AB ，AB ，并标出化简结果的向量+ BC + CD + GD + EC第4页 共 217 页11. 已知空间中任意四个点A，B，C，D，则DA A. DB B. AB + CD - CB等于 ( ) C. ACD. BA 12. 在三棱锥A - BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF= 2BE，则 AF 等于 ( )3 1
11、+ 3 - 3 + 3 - 3A. AB AC AD B. AB AC AD2 4 4 4 4 1 + 1 + 1 C. - 5AB + 3AC + 3ADD. AB AC AD3 3 3 13. 在直三棱柱ABC - A = a，CB = b，CC 1B1C1 中，若CA13. 在直三棱柱ABC - A = a，CB = b，CC1 = c，则A = _. 1B= c，则A = _.14. 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中 ，O 为AC 的中点 (1) 化简A = _.1O AB AD- 1 - 12 2 (2) 用AB = _.，AD，AA1 表示OC1，则OC1 15.
12、在平行六面体ABCD - ABCD 中，若AC = xAB +则x + y + z = _.y2BC+ z3CC， 16. 如图所示，在平行六面体ABCD - A 1B1C1D1 中，设AA11B1C1D1 中，设AA1 = a，AB = b，AD = c，M ，N ，P 分别是AA1，BC，C1D1 的中点，试用a，b，c 表示以下各向量： (1)AP； (2)A ； (3)MP1N .第5页 共 217 页1.1.2 空间向量的数量积运算知识点一 空间向量的夹角 1定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA= a，OB = b，则AOB 叫做向量a，b 的夹角，记作a，b2范围
13、：0 a，b . 特别地，当a，b= 2时 ，a b.1. 思考: 当a，b= 0 和a，b= 时，向量a 与b 有什么关系？知识点二 空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b 的数量积，记作ab. 即ab = |a|b|cosa，b 定义规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质a b ab = 0aa = a2 = |a|2(a)b = (ab)， R.ab = ba( 交换律) 运算律a(b + c) = ab + ac( 分配律).2. 思考1 : 向量的数量积运算是否满足结合律？3. 思考2 : 对于向量 a，b，若ab = k，能否写成a = kb
14、 或b = k ？ a第6页 共 217 页知识点三 向量a 的投影1如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c，c = |a|cosa，bb|b|，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量类似地，可以将向量a 向直线l 投影( 如图(2)2如图(3)，向量a 向平面 投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面 的垂线， 垂足分别为A，B，得到AB，向量AB称为向量a 在平面 上的投影向量 这时，向量a，AB的夹角就是向量a 所在直线与平面 所成的角判断正误： 4. 向量A
15、B 与CD 的夹角等于向量AB 与DC 的夹角 ( )5. 若ab = 0，则a = 0 或b = 0. ( )6. 对于非零向量b，由ab = bc，可得a = c. ( )7. 若非零向量a，b 为共线且同向的向量，则ab = |a|b|. ( )题型探究一、数量积的计算【例1】. 如图所示，在棱长为1 的正四面体A - BCD 中，E，F 分别是AB，AD 的中点，求： (1)EFBA； (2)EFBD； (3)EFDC； (4)ABCD.第7页 共 217 页【跟踪训练1.1】. 已知a = 3p - 2q，b = p + q，p 和q 是相互垂直的单位向量，则ab 等于 ( )A.
16、1 B. 2 C. 3 D. 4 【跟踪训练1.2】. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AEBD = _.二、利用数量积证明垂直问题【例2】. 如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中 ，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC1 的中点，求证：A1O 平面GBD.【跟踪训练2.1】. 如图所示，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，DAB = 60，AB = 2AD，PD 底面ABCD. 求证：PA BD.三、用数量积求解夹角和模【例3】. 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1 中 ，CA = CB = 1，BCA = 90，棱AA1
17、= 2，点N 为AA1 的中点 (1) 求BN的模； (2) 求cosBA，CB1的值 1第8页 共 217 页 【跟踪训练3.1】. 已知正方体ABCD - ABCD 的棱长为1，设AB = a，AD 则AB，BD等于 ( ) = b，AA= c，A. 30 B. 60 C. 90 D. 120【跟踪训练3.2】. 已知在平行六面体ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = AB = AD = 1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1 的长为 ( )A. 6 B. 6 C. 3 D. 3随堂演练1. 如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，下列各组向量的夹角为45 的
18、是 ( ) A. AB 与A1C1 B. AB 与C1A1C. AB与A1D1 D. AB与B1A12. 设ABCD - A 1B1C1D1 是棱长为a 的正方体，则有 ( )1B1C1D1 是棱长为a 的正方体，则有 ( ) C = a A A = a CA. AB 1A 2 B. AB 1C1C. BC 1C 2 D. AB 1A1= 2a2= a23. 已知空间四边形OABC 中 ，OB = OC，AOB = AOC = 3为 ( ) ，则cosOA，BC的值A. 12B.22C. - 12D. 04. 若a，b，c 为空间两两夹角都是60 的三个单位向量，则|a - b + 2c| =
19、 .5. 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，设AD = AA1 = 1，AB = 2，P 是C1D1 的中点， 则B1C 与A1P 所成角的大小为 ，B1C 1P A = .第9页 共 217 页1. 已知向量a 和b 的夹角为120，且|a| = 2，|b| = 5，则(2a - b)a 等于 ( )A. 12 B. 8 + 13 C. 4 D. 132. 已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a| = |b| = 1，ab = - 12为 ( )，则两直线的夹角A. 30 B. 60 C. 120 D. 1503. 已知e1，e2 为单位向量，且e1 e2，若a = 2
20、e1 + 3e2，b = ke1 - 4e2，a b，则实数k 的值为 ( )A. - 6 B. 6 C. 3 D. - 34. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a，点E，F 分别是BC，AD 的中点， 则AE 的值为 ( )AFA. a2 B. 12a2 C. 14a2 D. 34a25. 已知四边形ABCD 为矩形，PA 平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( ) A. PC 与BDB. DA与PBC. PD与AB D. PA 与CD6. 已知|a| = 13，|b| = 19，|a + b| = 24，则|a - b| =
21、 _.7. 已知a + 3b 与7a - 5b 垂直，且a - 4b 与7a - 2b 垂直，则a，b= _.8. 如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，求异面直线A1B 与AC 所成的角第10页 共 217 页9. 如图，正四棱锥P - ABCD 的各棱长都为a.(1) 用向量法证明BD PC； (2) 求|AC + PC| 的值10. 设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB + DC - 2DA)(AB - AC) = 0，则ABC 是 ( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形11. 已知a，b 是异面直线，A，B a，C，D
22、 b，AC b，BD b，且AB = 2，CD = 1，则a 与b 所成的角是 ( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 9012. 已知空间向量a，b，c 满足a + b + c = 0，|a| = 3，|b| = 1，|c| = 4，则ab + bc + ca 的值为 ( )A. - 13 B. - 5 C. 5 D. 1313. 已知棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1 的上底面A1B1C1D1 的中心为O1， 则AO1 AC 的值为_ 14. 等边ABC 中 ，P 在线段AB 上，且AP = AB AB = PAPB，若CP ，则实数 的值为_15. 如图所示，已知线段AB 在平面 内，线段AC ，线段BD AB，且AB = 7，AC = BD = 24，线段BD 与 所成的角为30，求CD 的长第11页 共 217 页1.1.3 共线向量与共
