1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.3 圆的方程 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1方程 y 1 x2表示的曲线是 ( ) A上半圆 B下半圆 C圆 D抛物线 解析：由方程可得 x2 y2 1(y0) ，即此曲线为圆 x2 y2 1 的上半圆 答案： A 2以 M(1,0)为圆心，且与直线 x y 3 0 相切的圆的方程是 ( ) A (x 1)2 y2 8 B (x 1)2 y2 8 C (x 1)2 y2 16 D (x 1)2 y2 16 解析：因为所求圆与直线 x y 3 0 相切，所以圆心 M(1， 0)到直线 x y 3 0 的距离即为该圆的半径 r，即 r |1 0 3
2、|2 2 2. 所以所求圆的方程为 (x 1)2 y2 8.故选 A. 答案： A 3若圆 x2 y2 2ax b2 0 的半径为 2，则点 (a， b)到原点的距离为 ( ) A 1 B 2 C. 2 D 4 解析：由半径 r 12 D2 E2 4F 12 4a2 4b2 2， 得 a2 b2 2. 点 (a， b)到原点的距离 d a2 b2 2，故选 B. 答案： B 4点 P(4， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 2)2 (y 1)2 4 C (x 4)2 (y 2)2 4 D (x 2)2 (y 1)2
3、1 解析：设圆上任一点为 Q(x0， y0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = PQ 的中点为 M(x， y)，则? x 4 x02 ，y 2 y02 ，解得? x0 2x 4，y0 2y 2， 因为点 Q 在圆 x2 y2 4 上， 所以 x20 y20 4，即 (2x 4)2 (2y 2)2 4， 化简得 (x 2)2 (y 1)2 1. 答案： A 5已知圆 C 的圆心是直线 x y 1 0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x y 3 0 相切，则圆 C 的方程是 ( ) A (x 1)2 y2 2 B (x 1)2 y2 8 C (x 1)2 y2 2 D (x 1)2 y2 8
4、 解析：直线 x y 1 0 与 x 轴的交点 ( 1,0) 根据题意，圆 C 的圆心坐标为 ( 1,0) 因为圆与直线 x y 3 0 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d | 1 0 3|12 12 2， 则圆的方程为 (x 1)2 y2 2.故选 A. 答案： A 6已知圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程为 ( ) A (x 1)2 (y 1)2 2 B (x 1)2 (y 1)2 2 C (x 1)2 (y 1)2 2 D (x 1)2 (y 1)2 2 解析：由题意知 x y 0 和 x y 4 0 之间的距离为 |4
5、|2 2 2，所以 r 2.又因为x y 0 与 x y 0， x y 4 0 均垂直，所以由 x y 0 和 x y 0 联立得交点坐标为(0,0)，由 x y 0 和 x y 4 0 联立得交点坐标为 (2， 2)，所以圆心坐标为 (1， 1)，圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2. 答案： D 7已知直线 l： x my 4 0，若曲线 x2 y2 2x 6y 1 0 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2 B 2 C 1 D 1 解析：因为曲线 x2 y2 2x 6y 1 0 是圆 (x 1)2 (y
6、3)2 9，若圆 (x 1)2 (y3)2 9 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则直线 l： x my 4 0 过圆心 ( 1,3)，所以 1 3m 4 0，解得 m 1. 答案： D 8已知 P 是直线 l： 3x 4y 11 0 上的动点， PA， PB 是圆 x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是 ( ) A. 2 B 2 2 C. 3 D 2 3 解析：圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 1，圆心为 C(1,1)，半径为 r 1，根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为 2S APC 2 12|PA| r |P
7、A| |PC|2 r2，要使四边形 PACB的面积最小，则只需 |PC|最小，最小时为圆心到直线 l： 3x 4y 11 0 的距离 d|3 4 11|32 2 2，所以四边形 PACB 面积的最小值为 |PC|2min r2 4 1 3. 答案： C 9已知三点 A(1,0)， B(0， 3)， C(2， 3)，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_ 解析：解法一：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， 则? 1 D F 0，3 3E F 0，4 3 2D 3E F 0，解得 D 2， E 4 33 ， F 1， 圆心为 ? ?1， 2 33 ， 所求距离为 12 ? ?2 33
8、2 213 . 解法二：在平面直角坐标系 xOy 中画出 ABC，易知 ABC 是边长为 2 的正三角形，其外接圆的圆心为 D? ?1， 2 33 . 因此 |OD| 12 ? ?2 33 2 73 213 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 213 10在平面直角坐标系内，若曲线 C： x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：圆 C 的标准方程为 (x a)2 (y 2a)2 4， 所以圆心为 ( a,2a)，半径 r 2， 故由题意知? a2，|2a|2?a 2. 答案： ( ， 2) 11已知以点 P 为圆心的圆
9、经过点 A( 1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P于点 C 和 D，且 |CD| 4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解： (1)由题意知，直线 AB 的斜率 k 1， 中点坐标为 (1,2) 则直线 CD 的方程为 y 2 (x 1)， 即 x y 3 0. (2)设圆心 P(a， b)， 则由点 P 在 CD 上得 a b 3 0. 又 直径 |CD| 4 10， |PA| 2 10， (a 1)2 b2 40. 由 解得? a 3，b 6 或 ? a 5，b 2. 圆心 P( 3,6)或 P(5， 2) 圆 P 的方程为 (x 3)2
10、(y 6)2 40 或 (x 5)2 (y 2)2 40. 12已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2 y2 6x 5 0 相交于不同的两点 A， B. (1)求圆 C1的圆心坐标 ； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 解： (1)把圆 C1的方程化为标准方程得 (x 3)2 y2 4， 圆 C1的圆心坐标为 C1(3,0) (2)设 M(x， y)， A， B 为过原点的直线 l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点， 由圆的性质知： MC1 MO， =【 ;精品教育资源文库 】 = MC1 MO 0. 又 MC1 (3 x， y)， MO ( x， y)， 由向
11、量的数量积公式得 x2 3x y2 0. 易知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y mx， 当直线 l 与圆 C1相切时， d |3m 0|m2 1 2， 解得 m 2 55 . 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1的方程化简得 9x2 30x 25 0，解得 x 53. 当直线 l 经过圆 C1的圆心时， M 的坐标为 (3,0) 又直线 l 与圆 C1交于 A， B 两点， M 为 AB 的中点， 53x3. 点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 3x y2 0，其中 53x3 ，其轨迹为一段圆弧 能 力 提 升 1已知圆 C1： (x 2)2 (y 3)2 1，圆 C2： (x
12、 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为 ( ) A 5 2 4 B 17 1 C 6 2 2 D 17 解析：圆 C1， C2的图象如图所示 设 P 是 x 轴上任意一点， 则 |PM|的最小值为 |PC1| 1， 同理 |PN|的最小值为 |PC2| 3， 则 |PM| |PN|的最小值为 |PC1| |PC2| 4. 作 C1关于 x 轴的对称点 C 1(2， 3)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 连接 C 1C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1， 可知 |PC1| |PC2|的最小值为 |C
13、 1C2|， 则 |PM| |PN|的最小值为 5 2 4. 答案： A 2已知 M(m， n)为圆 C： x2 y2 4x 14y 45 0 上任意一点 (1)求 m 2n 的最大值； (2)求 n 3m 2的最大值和最小值 解： (1)因为 x2 y2 4x 14y 45 0 的圆心 C(2,7)，半径 r 2 2，设 m 2n t，将m 2n t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离 d |2 27 t|12 22 2 2， 解上式得， 16 2 10 t16 2 10， 所以所求的最大值为 16 2 10. (2)记点 Q( 2,3)， 因为 n 3m 2表示直线 MQ 的斜率 k， 所以直线 MQ 的方程为 y 3 k(x 2)， 即 kx y 2k 3 0. 由直线 MQ 与圆 C 有公共点， 得 |2k 7 2k 3|1 k2 2 2. 可得 2 3 k2 3， 所以 n 3m 2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.
