1、习题课等比数列的性质学习目标1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提
2、示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示anan1d(n2，nN*)q(n2，nN*)通项公式ana1(n1)dana1qn1类比差商；和积，积乘方性质等差数列首项a1，公差d等比数列首项a1，公比q把等差数列前k项去掉，得到一个以ak1为首项，以d为公差的等差数列把等比数列前k项去掉，得到一个以ak1为首项，以q公比的等比数列等差数列中，ak，akm，ak2m是以公差为md的等差数列等比数列中，ak，akm，ak2m是以公比为q
3、m的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理1在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列2若an是等比数列，公比为q，则数列an(0)，a都是等比数列，且公比分别是q，q2.3若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么anbn与也都是等比数列，公比分别为pq和.注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成
4、等比数列例1如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A. B.C. D.答案D解析取等比数列ann，则anan10，所以anan1不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q0，求an.解设等比数列an的公比为q.(1)由得q.再由a3a6a3(1q3)36得a332，则ana3qn332n3n8，所以n81，所以n9.(2)由a7a5q2得q2.因为an0，所以q，所以ana5qn58n5n8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下
5、，利用通项公式ana1qn1(a1q0)可求出等比数列中的任意一项(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项跟踪训练2(1)在等比数列an中，如果a1a418，a2a312，那么这个数列的公比为()A2 B. C2或 D2或(2)已知等比数列an中，a32，a4a616，则等于()A16 B8 C4 D2答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列an的公比为q(q0)，a1a418，a2a312，a1(1q3)18，a1(qq2)12，q1，化为2q25q20，解得q2或.故选C.(2)等比数列an中，设其公比为q(q0)，a32，a4a6a3
6、qa3q3aq44q416，q44.q44，故选C.三、等比数列中多项之间的关系问题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的amanakal，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得amanakal，其中mnkl，m，n，k，lN*.推导过程：ama1qm1，ana1qn1，aka1qk1，ala1ql1，所以amana1qm1a1qn1aqmn2，akala1qk1a1ql1aqkl2，因为mnkl，所以有amanakal.知识梳理设数列an为等比数列，则：(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列注意点：(1)性质
7、的推广：若mnpxyz，有amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1ana2an1.例3已知an为等比数列(1)若an满足a2a4，求a1aa5；(2)若an0，a5a72a6a8a6a1049，求a6a8；(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值解(1)在等比数列an中，a2a4，aa1a5a2a4，a1aa5.(2)由等比中项，化简条件得a2a6a8a49，即(a6a8)249，an0，a6a87.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a
8、79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量跟踪训练3(1)公比为的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a16等于()A4 B5 C6 D7答案B解析因为a3a1116，所以a16.又因为an0，所以a74，所以a16a7q932，即log2a165.(2)已知在各项均为正数的等比数列
9、an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.答案5解析方法一因为an是等比数列，所以a1a7a，a2a8a，a3a9a.所以aaa(a1a7)(a2a8)(a3a9)(a1a2a3)(a7a8a9)51050.因为an0，所以a4a5a65.方法二因为a1a2a3(a1a3)a2aa2a5，所以a2.因为a7a8a9(a7a9)a8a10，所以a8.同理a4a5a6a.1知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列(2)等比数列中任意两项之间的关系(3)等比数列中多项之间的关系2方法归纳：公式法、类比思想3常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项1在等比数列an中，若a24，
10、a532，则公比q应为()A B2 C. D2答案D解析因为q38，故q2.2已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列3已知在等比数列中，有a3a7a109，则a4a等于()A3 B9 C20 D无法计算答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3710488，故a4
11、a9.4若正项等比数列an满足a1a54，当取最小值时，数列的公比是_答案2解析设正项等比数列的公比为q，因为a1a54，所以由等比数列的性质可得a2a44，因此22，当且仅当，即q24，即q2(负值舍去)时，等号成立所以数列的公比是2.课时对点练1已知数列an满足a15，anan12n，则等于()A4 B2 C5 D.答案A解析因为anan12n，所以an1an2n1(n2)，所以2(n2)，数列an的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故224.2在等比数列an中，a2，a18是方程x26x40的两根，则a4a16a10等于()A6 B2 C2或6 D2答案B解析由题意知a2a186，
12、a2a184，所以a20，a180，故a100，所以a102，因此a4a16a10aa102，故选B.3在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于()A. B. C D.或答案C解析因为a4a2q2，所以q2.又因为a10，所以q1)A中，2q2为常数，故A正确；B中，q2，故B正确；C中，为常数，故C正确；D中，不一定为常数，故D错误7在正项等比数列an中，若3a1，a3,2a2成等差数列，则_.答案解析设正项等比数列an的公比q0，3a1，a3,2a2成等差数列，2a33a12a2，即a1q23a12a1q，q22q30，q0，解得q3.则原式.8已知数列an为等比数列，且
13、a3a5，则a4(a22a4a6)_.答案2解析因为数列an为等比数列，且a3a5，所以a4(a22a4a6)a4a22aa4a6a2a3a5a(a3a5)22.9已知数列an是等比数列，a3a720，a1a964，求a11的值解an为等比数列，a1a9a3a764.又a3a720，a34，a716或a316，a74.当a34，a716时，q44，此时a11a3q844264.当a316，a74时，q4，此时a11a3q81621.10已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若数列an的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项
14、解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，即(a3a5)236，又an0，a3a56.(2)设等比数列an的公比为q，a2a542，q1.由已知，得解得若G是a5，a7的等比中项，则有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109，a5，a7的等比中项为3.11设各项均为正数的等比数列an满足a4a83a7，则log3(a1a2a9)等于()A38 B39 C9 D7答案C解析因为a4a8a5a73a7且a70，所以a53，所以log3(a1a2a9)log3alog3399.12已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.答案C解析
15、方法一a3，a5的等比中项为a4，a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2.方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q.13等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134T9，则a8a15等于()A2 B4 C2 D4答案C解析T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q0，a8a152.14在等比数列an
16、中，若a72，则此数列的前13项之积等于_答案213解析由于an是等比数列，a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a，a1a2a3a13(a)6a7a，而a72.a1a2a3a13(2)13213.15在等比数列an中，若a7a116，a4a145，则_.答案或解析an是等比数列，a7a11a4a146，又a4a145，或q10，q10或q10.而q10，或.16已知an是等差数列，满足a12，a414，数列bn满足b11，b46，且anbn是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若任意nN*，都有bnbk成立，求正整数k的值解(1)设an的公差为d，则d4，所以an2(n1)44n2，故an的通项公式为an4n2(nN*)设cnanbn，则cn为等比数列c1a1b1211，c4a4b41468，设cn的公比为q，则q38，故q2.则cn2n1，即anbn2n1.所以bn4n22n1(nN*)故bn的通项公式为bn4n22n1(nN*)(2)由题意得，bk应为数列bn的最大项由bn1bn4(n1)22n4n22n142n1(nN*)当n0，bnbn1，即b1b23时，bn1bnbn1，即b4b5b6所以k3或k4.
