苏教版高一数学选择性必修一第2章2.3《圆与圆的位置关系》教案及课件.zip

2.3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题导语日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系的判断知识梳理1代数法：设两圆的一般方程为C1：x2y2D1xE1yF10(D2 1E2 14F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(D2 2E2 24F20)，联立方程得Error!Error!则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2 组1 组0 组两圆的公共点个数2 个1 个0 个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d 与 r1，r2的关系外离dr1r2外切dr1r2相交|r1r2|dr1r2内切d|r1r2|内含d|r1r2|注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法例 1当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0 相交、相切、外离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆 C1的圆心为 C1(2,3)，半径长 r11；圆 C2的圆心为 C2(1,7)，半径长 r250k(k50)，从而 C1C22123725.当 150k5，即 k34 时，两圆外切当|50k1|5，即50k6，即 k14 时，两圆内切当|50k1|5150k，即 14k34 时，两圆相交当|50k1|5，即 34k50 时，两圆外离反思感悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径(2)计算两圆圆心的距离 d.(3)通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合跟踪训练 1已知圆 C1：x2y22mx4ym250，圆 C2：x2y22x2mym230.(1)当 m 为何值时，圆 C1与圆 C2外切？(2)当圆 C1与圆 C2内含时，求 m 的取值范围？解对于圆 C1与圆 C2的方程，经配方后，有C1：(xm)2(y2)29.C2：(x1)2(ym)24.两圆的圆心 C1(m，2)，C2(1，m)，半径 r13，r22，且 C1C2m12m22.(1)若圆 C1与圆 C2相外切，则 C1C2r1r2，即m12m225，解得 m5 或 m2.(2)若圆 C1与圆 C2内含，则 0C1C2|r2r1|1，即m12m221，解得2m1.二、两圆相切问题问题 1圆与圆相切包含哪几种情况？提示内切和外切两种情况问题 2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)几何法利用圆心距 d 与两半径 R，r 之间的关系求得，dRr 为外切，d|Rr|为内切(2)代数法将两圆联立消去 x 或 y 得到关于 y 或 x 的一元二次方程，利用 0 求解知识梳理处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)例 2求半径为 4，与圆(x2)2(y1)29 相切，且和直线 y0 相切的圆的方程解设所求圆的方程为(xa)2(yb)216，由圆与直线 y0 相切、半径为 4，得圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a，4)已知圆(x2)2(y1)29 的圆心 A 的坐标为(2,1)，半径为 3.由两圆相切，得 CA437 或 CA431.当圆心为 C1(a,4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故可得 a2210，故所求圆的方程为(x2210)2(y4)216 或(x2210)2(y4)216.当圆心为 C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，解得 a226.故所求圆的方程为(x226)2(y4)216 或(x226)2(y4)216.综上所述，所求圆的方程为(x2210)2(y4)216 或(x2210)2(y4)216 或(x226)2(y4)216 或(x226)2(y4)216.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题跟踪训练 2求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x3y0 相切于点 M(3，3)的圆的方程解已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为 C(1,0)，半径为 1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)由题意，可得Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!即所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y43)236.三、两圆相交问题问题 3两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？提示将两个方程化成一般式，然后作差即可求得问题 4两圆公共弦长如何求得？提示将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，利用勾股定理 AB2r2d2求得例 3已知圆 C1：x2y26x40 和圆 C2：x2y26y280.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程解(1)设两圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标是方程组Error!Error!的解，得 xy40.A，B 两点的坐标都满足此方程，xy40 即为两圆公共弦所在直线的方程又圆 C1的圆心(3,0)，r13，C1到直线 AB 的距离 d|34|222，AB2r2d22131252，即两圆的公共弦长为 52.(2)方法一解方程组Error!Error!得两圆的交点 A(1,3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线 xy40 上，故 ba4.则a12a432a62a422，解得 a12，故圆心为(12，72)，半径为892.故圆的方程为(x12)2(y72)2892，即 x2y2x7y320.方法二设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为(31，31)，代入 xy40，解得 7.故所求圆的方程为 x2y2x7y320.反思感悟(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解(3)已知圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)跟踪训练 3圆心在直线 xy40 上，且经过圆 x2y24x60 与圆 x2y24y60的交点的圆的方程为_答案(x3)2(y1)216(或 x2y26x2y60)解析方法一由Error!Error!解得Error!Error!Error!Error!所以圆 x2y24x60 与圆 x2y24y60 的交点分别为 A(1，1)，B(3,3)，连接AB，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1(x1)由Error!Error!解得Error!Error!所以所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为3323124，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法二同方法一求得 A(1，1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由Error!Error!解得Error!Error!所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法三设所求圆的方程为 x2y24x6(x2y24y6)0，其中 1，化简可得 x2y241x41y60，圆心坐标为(21，21).又圆心(21，21)在直线 xy40 上，所以212140，解得 13，所以所求圆的方程为 x2y26x2y60.1知识清单：(1)两圆的位置关系(2)两圆的公共弦(3)圆系方程2方法归纳：几何法、代数法3常见误区：将两圆内切和外切相混1圆 C1：x2y22x8y80 与圆 C2：x2y24x4y10 的位置关系是()A外离 B外切 C相交 D内含答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得 C1：(x1)2(y4)225，C2：(x2)2(y2)29，C1(1，4)，C2(2,2)，r15，r23.从而 C1C2326235，r1r2C1C2r1r2.因此两圆的位置关系为相交故选 C.2圆 x2y24x6y0 和圆 x2y26x0 交于 A，B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70答案C解析AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除 A，B，D.故选 C.3已知点 P 在圆 O：x2y21 上运动，点 Q 在圆 C：(x3)2y21 上运动，则 PQ 的最小值为_答案1解析O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为 1，OC32023，PQ 的最小值为 3111.4已知圆 C1：(x1)2(y2)24，圆 C2：x2y21，则过圆 C1与圆 C2的两个交点且过原点 O 的圆的方程为_答案x2y2x2y0解析设所求圆的方程为 x2y22x4y1(x2y21)0(1)，把原点代入可得 10，所以 1，即可得过圆 C1与圆 C2的两个交点且过原点 O 的圆的方程为 x2y2x2y0.课时对点练课时对点练1圆 x2y22 与圆 x2y22x2y0 的位置关系是()A相交 B内切C外切 D外离答案A解析由题意得，圆 x2y22 的圆心 O1(0,0)，圆 x2y22x2y0 的圆心 O2(1,1)，圆心距 dO1O2112，两个圆的半径均为2，故|r1r2|d0)相切，则圆 M 和圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A外离 B外切C相交 D内切答案C解析圆 M 的标准方程为(xa)2y2a2(a0)，则圆心为(a,0)，半径 Ra，因为直线 3x4y40 与圆 M：x2y22ax0(a0)相切，所以|3a4|3242a，解得 a2，则圆 M 的圆心为(2,0)，半径 R2，圆 N 的圆心为 N(1,1)，半径 r1，则 MN21212，因为 Rr3，Rr1，所以 RrMN13，所以两圆外离，所以圆 C1和圆 C2上的两点 AB 的最大值为 dr1r2414.5圆 C1：(x1)2y24 与圆 C2：(x1)2(y3)29 的相交弦所在的直线为 l，则直线 l 被圆 O：x2y24 截得的弦长为()A.13 B4 C.43913 D.83913答案D解析 由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l：2x3y20.圆心 O(0,0)到 l 的距离 d21313，圆 O 的半径 R2，所以截得的弦长为 2R2d22441383913.6(多选)下列圆中与圆 C：x2y22x4y10 相切的是()A(x2)2(y2)29 B(x2)2(y2)29C(x2)2(y2)225 D(x2)2(y2)249答案BCD解析由圆 C：x2y22x4y10，可知圆心 C 的坐标为(1,2)，半径 r2.A 项，圆心 C1(2，2)，半径 r13.C1C17(r1r，r1r)，两圆相交；B 项，圆心 C2(2，2)，半径 r23，C2C5rr2，两圆外切，满足条件；C 项，圆心 C3(2,2)，半径 r35，C3C3r3r，两圆内切；D 项，圆心 C4(2，2)，半径 r47，C4C5r4r，两圆内切7 经 过 直 线 x y 1 0 与 圆 x2 y2 2 的 交 点，且 过 点(1,2)的 圆 的 方 程 为_答案x2y234x34y1140解析由已知可设所求圆的方程为 x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得 34，故所求圆的方程为 x2y234x34y1140.8过两圆 x2y22y40 与 x2y24x2y0 的交点，且圆心在直线 l：2x4y10上的圆的方程是_答案x2y23xy10解析设圆的方程为 x2y24x2y(x2y22y4)0(1)，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心(21，11)代入直线 l：2x4y10 的方程，可得 13，所以所求圆的方程为 x2y23xy10.9已知圆 O1：x2y282x82y480，圆 O2过点 A(0，4)，若圆 O2与圆 O1相切于点 B(22，22)，求圆 O2的方程解圆 O1的方程变为(x42)2(y42)216，所以圆心 O1(42，42)，因为圆 O2与圆 O1相切于点 B(22，22)，所以圆 O2的圆心在直线 yx 上，不妨设为(a，a)，因为圆 O2过点 A(0，4)，所以圆 O2与圆 O1外切，因为圆 O2过 B(22，22)，所以 a2(a4)22(a22)2，所以 a0，所以圆 O2的方程为 x2y216.10已知两圆 C1：x2y24，C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，直线 l：x2y0.(1)当圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4 时，求 r 的值；(2)当 r1 时，求经过圆 C1与圆 C2的交点且和直线 l 相切的圆的方程解(1)由圆 C1：x2y24，知圆心 C1(0,0)，半径 r12，又由圆 C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，可得 x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为 2x4y9r20.因为圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4，所以此时相交弦过圆心 C1(0,0)，即 r29(r0)，解得 r3.(2)设过圆 C1与圆 C2的圆系方程为(x1)2(y2)21(x2y24)0(1)，即(1)x2(1)y22x4y4(1)0，所以(x11)2(y21)242112，由圆心到直线 x2y0 的距离等于圆的半径，可得|1141|5421|1|，解得 1，故所求圆的方程为 x2y2x2y0.11过点 P(2,3)向圆 C：x2y21 上作两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在的直线方程为()A2x3y10 B2x3y10C3x2y10 D3x2y10答案B解析因为 PC 垂直平分 AB，故弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x2y21 的公共弦，而以 PC 为直径的圆的方程为(x1)2(y32)2134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦 AB 所在的直线方程为(x1)2(y32)2134(x2y21)0，整理可得 2x3y10.12(多选)圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y22x4y0 的交点为 A，B，则有()A公共弦 AB 所在直线的方程为 xy0B线段 AB 中垂线的方程为 xy10C公共弦 AB 的长为22DP 为圆 O1上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为221答案ABD解析对于 A，由圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y22x4y0 的交点为 A，B，两式作差可得 4x4y0，即公共弦 AB 所在直线的方程为 xy0，故 A 正确；对于 B，圆 O1：x2y22x0 的圆心为(1,0)，又 kAB1，则线段 AB 中垂线的斜率为1，即线段 AB 中垂线的方程为 y01(x1)，整理可得 xy10，故 B 正确；对于 C，圆 O1：x2y22x0，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离 d|10|121222，半径 r1，所以 AB21(22)22，故 C 不正确；对于 D，P 为圆 O1上一动点，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离为 d22，半径 r1，即P 到直线 AB 距离的最大值为221，故 D 正确13 已知两圆 C1、C2和 x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线 xy2 都相切，则两圆圆心的距离 C1C2_.答案4解析因为两圆 C1，C2和 x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线 xy2 都相切，所以两圆圆心都在直线 yx 上，设 C1(a，a)，则圆 C1的方程为(xa)2(ya)2a2，设 C2(b，b)，则圆 C2的方程为(xb)2(yb)2b2，因为两圆均与直线 xy20 相切，所以|aa2|2a(a2)22a22，令 a22，则 b22，所以两圆圆心的距离 C1C2ba2ba24.14在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1:x2 y28 与圆 C2:x2y22xya0 相交于A，B 两点若圆 C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为_答案8，825，825解析由题意知，直线 AB 为 2xy8a0，当PAB90或PBA90时，设 C1到 AB 的距离为 d，因为ABP 为等腰直角三角形，所以 d12AB，即 d8d2，所以 d2，所以|8a|2212d2，解得 a825；当APB90时，AB 经过圆心 C1，则 8a0，即 a8.15若点 M，N 在圆 C1：x2y21 上运动，且 MN3，点 P(x0，y0)是圆 C2：x2y26x8y240 上一点，则|PM PN|的取值范围为_.答案7,13解析设圆 C1的半径为 r1，因为点 M，N 在圆 C1：x2y21 上运动，且 MN3，所以圆心 C1到线段 MN 中点的距离为r2MN2412，故线段 MN 的中点 H 在圆 C3：x2y214上，而|PM PN|2|PH|，圆 C2：(x3)2(y4)21.故 C2C3121PHC2C3121，即72PH132，故|PM PN|2|PH|7,1316已知圆 C：x2y26x8y210.(1)若直线 l1过定点 A(1,1)，且与圆 C 相切，求 l1的方程；(2)若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2：xy20 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程解(1)圆 C：x2y26x8y210 化为标准方程为(x3)2(y4)24，所以圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2.若直线 l1的斜率不存在，即直线为 x1，符合题意若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y1k(x1)即 kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线 l1的距离等于半径 2，所以|3k4k1|k212，即|2k3|k212，解得 k512，所以直线方程为 5x12y70.综上，所求 l1的方程为 x1 或 5x12y70.(2)依题意，设 D(a，a2)又已知圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2，由两圆外切，可知 CD5，a32a2425，解得 a1 或 a6.D(1,1)或 D(6,8)，所求圆 D 的方程为(x1)2(y1)29 或(x6)2(y8)29.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？导导 语语前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.一、圆与圆的位置关系的判断一、圆与圆的位置关系的判断1.代数法：设两圆的一般方程为知识梳理知识梳理则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数 个 个 个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2102.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如右：位置关系图示d与r1，r2的关系外离d r1r2外切d r1r2相交|r1r2|d注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.例1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、外离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；反思感悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.跟踪训练1已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230.(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(xm)2(y2)29.C2：(x1)2(ym)24.两圆的圆心C1(m，2)，C2(1，m)，半径r13，r22，若圆C1与圆C2相外切，则C1C2r1r2，解得m5或m2.(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？解若圆C1与圆C2内含，则0C1C2|r2r1|1，解得2m1.二、两圆相切问题二、两圆相切问题问题1圆与圆相切包含哪几种情况？提示内切和外切两种情况.问题2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)几何法.利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，dRr为外切，d|Rr|为内切.(2)代数法.将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用0求解.处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).知识梳理知识梳理例2求半径为4，与圆(x2)2(y1)29相切，且和直线y0相切的圆的方程.解设所求圆的方程为(xa)2(yb)216，由圆与直线y0相切、半径为4，得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，4).已知圆(x2)2(y1)29的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，得CA437或CA431.当圆心为C1(a,4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，当圆心为C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，综上所述，反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.解已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0).三、两圆相交问题三、两圆相交问题问题问题3两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？提示将两个方程化成一般式，然后作差即可求得.问题问题4两圆公共弦长如何求得？提示将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，例3已知圆C1：x2y26x40和圆C2：x2y26y280.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得xy40.A，B两点的坐标都满足此方程，xy40即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)求经过两圆交点且圆心在直线xy40上的圆的方程.得两圆的交点A(1,3)，B(6，2).设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线xy40上，故ba4.即x2y2x7y320.方法二设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，解得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.反思感悟(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.(3)已知圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1).跟跟踪踪训训练练3圆心在直线xy40上，且经过圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点的圆的方程为_.(x3)2(y1)216(或x2y26x2y60)所以圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点分别为A(1，1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y1(x1).所以所求圆的圆心坐标为(3，1)，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法二同方法一求得A(1，1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法三设所求圆的方程为x2y24x6(x2y24y6)0，所以所求圆的方程为x2y26x2y60.1.知识清单：(1)两圆的位置关系.(2)两圆的公共弦.(3)圆系方程.2.方法归纳：几何法、代数法.3.常见误区：将两圆内切和外切相混.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.圆C1：x2y22x8y80与圆C2：x2y24x4y10的位置关系是A.外离 B.外切 C.相交 D.内含解析将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x1)2(y4)225，C2：(x2)2(y2)29，C1(1，4)，C2(2,2)，r15，r23.1234r1r2C1C2r1r2.因此两圆的位置关系为相交.故选C.12342.圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是A.xy30 B.2xy50C.3xy90 D.4x3y70解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A，B，D.故选C.12343.已知点P在圆O：x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则PQ的最小值为_.解析O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，1PQ的最小值为3111.12344.已知圆C1：(x1)2(y2)24，圆C2：x2y21，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为_.解析设所求圆的方程为x2y22x4y1(x2y21)0(1)，把原点代入可得10，所以1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为x2y2x2y0.x2y2x2y0课时对点练课时对点练基础巩固1.圆x2y22与圆x2y22x2y0的位置关系是A.相交 B.内切C.外切 D.外离解析由题意得，圆x2y22的圆心O1(0,0)，圆x2y22x2y0的圆心O2(1,1)，故|r1r2|d0)相切，则圆M和圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是A.外离 B.外切C.相交 D.内切解析圆M的标准方程为(xa)2y2a2(a0)，则圆心为(a,0)，半径Ra，因为直线3x4y40与圆M：x2y22ax0(a0)相切，则圆M的圆心为(2,0)，半径R2，圆N的圆心为N(1,1)，半径r1，因为Rr3，Rr1，所以RrMN0)，直线l：x2y0.(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；解由圆C1：x2y24，知圆心C1(0,0)，半径r12，又由圆C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，可得x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x4y9r20.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r29(r0)，解得r3.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)当r1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x1)2(y2)21(x2y24)0(1)，即(1)x2(1)y22x4y4(1)0，由圆心到直线x2y0的距离等于圆的半径，故所求圆的方程为x2y2x2y0.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.过点P(2,3)向圆C：x2y21上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为A.2x3y10 B.2x3y10C.3x2y10 D.3x2y1012345678910 11 12 13 14 15 16解析因为PC垂直平分AB，故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2y21的公共弦，根据两圆的公共弦的求法，整理可得2x3y10.12345678910 11 12 13 14 15 1612.(多选)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，则有A.公共弦AB所在直线的方程为xy0B.线段AB中垂线的方程为xy1012345678910 11 12 13 14 15 16解析对于A，由圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，两式作差可得4x4y0，即公共弦AB所在直线的方程为xy0，故A正确；对于B，圆O1：x2y22x0的圆心为(1,0)，又kAB1，则线段AB中垂线的斜率为1，即线段AB中垂线的方程为y01(x1)，整理可得xy10，故B正确；对于C，圆O1：x2y22x0，对于D，P为圆O1上一动点，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.已知两圆C1、C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线xy2都相切，则两圆圆心的距离C1C2_.4解析因为两圆C1，C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线xy2都相切，所以两圆圆心都在直线yx上，设C1(a，a)，则圆C1的方程为(xa)2(ya)2a2，设C2(b，b)，则圆C2的方程为(xb)2(yb)2b2，因为两圆均与直线xy20相切，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:x2 y28与圆C2:x2y22xya0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为_.解析由题意知，直线AB为2xy8a0，当PAB90或PBA90时，设C1到AB的距离为d，因为ABP为等腰直角三角形，当APB90时，AB经过圆心C1，则8a0，即a8.12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 167,13解析设圆C1的半径为r1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知圆C：x2y26x8y210.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；解圆C：x2y26x8y210化为标准方程为(x3)2(y4)24，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.若直线l1的斜率不存在，即直线为x1，符合题意.若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y1k(x1).即kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，综上，所求l1的方程为x1或5x12y70.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：xy20上，且与圆C外切，求圆D的方程.解依题意，设D(a，a2).又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知CD5，解得a1或a6.D(1,1)或D(6,8)，所求圆D的方程为(x1)2(y1)29或(x6)2(y8)29.12345678910 11 12 13 14 15 16