苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等比数列的性质》教案及课件.zip

习题课等比数列的性质习题课等比数列的性质学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质一、由等比数列构造新等比数列问题 1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示anan1d(n2，nN*)anan1q(n2，nN*)通项公式ana1(n1)dana1qn1类比差商；和积，积乘方等差数列首项 a1，公差 d等比数列首项 a1，公比 q把等差数列前 k 项去掉，得到一个以 ak1为首项，以 d 为公差的等差数列把等比数列前 k 项去掉，得到一个以 ak1为首项，以 q 公比的等比数列等差数列中，ak，akm，ak2m是以公差为 md 的等差数列等比数列中，ak，akm，ak2m是以公比为 qm的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列性质两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理 1在等比数列an中，每隔 k 项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列2若an是等比数列，公比为 q，则数列an(0)，1an，a2 n都是等比数列，且公比分别是 q，1q，q2.3若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么anbn与anbn也都是等比数列，公比分别为 pq 和pq.注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为 0，比如公比 q1 时，连续相邻偶数项的和都是 0，故不能构成等比数列例 1如果数列an是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A.1an B.3anC.anan1 D.anan1答案D解析取等比数列 an(1)n，则 anan10，所以anan1不是等比数列，故 D 错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为 0，主要是针对 q0，求 an.解设等比数列an的公比为 q.(1)由Error!Error!得 q12.再由 a3a6a3(1q3)36 得 a332，则 ana3qn332(12)n3(12)n812，所以 n81，所以 n9.(2)由 a7a5q2得 q214.因为 an0，所以 q12，所以 ana5qn58(12)n5(12)n8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式 ana1qn1(a1q0)可求出等比数列中的任意一项(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用 anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项跟踪训练 2(1)在等比数列an中，如果 a1a418，a2a312，那么这个数列的公比为()A2 B.12 C2 或12 D2 或12(2)已知等比数列an中，a32，a4a616，则a9a10a5a6等于()A16 B8 C4 D2答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列an的公比为 q(q0)，a1a418，a2a312，a1(1q3)18，a1(qq2)12，q1，化为 2q25q20，解得 q2 或12.故选 C.(2)等比数列an中，设其公比为 q(q0)，a32，a4a6a3qa3q3a2 3q44q416，q44.a9a10a5a6a1q8a1q9a1q4a1q5q44，故选 C.三、等比数列中多项之间的关系问题 3结合上面的类比，你能把等差数列里面的 amanakal，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得 amanakal，其中 mnkl，m，n，k，lN*.推导过程：ama1qm1，ana1qn1，aka1qk1，ala1ql1，所以 amana1qm1a1qn1a2 1qmn2，akala1qk1a1ql1a2 1qkl2，因为 mnkl，所以有 amanakal.知识梳理 设数列an为等比数列，则：(1)若 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(2)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an成等比数列注意点：(1)性质的推广：若 mnpxyz，有 amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即 a1ana2an1.例 3已知an为等比数列(1)若an满足 a2a412，求 a1a2 3a5；(2)若 an0，a5a72a6a8a6a1049，求 a6a8；(3)若 an0，a5a69，求 log3a1log3a2log3a10的值解(1)在等比数列an中，a2a412，a2 3a1a5a2a412，a1a2 3a514.(2)由等比中项，化简条件得a2 62a6a8a2 849，即(a6a8)249，an0，a6a87.(3)由等比数列的性质知 a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量跟踪训练 3(1)公比为32的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a16等于()A4 B5 C6 D7答案B解析因为 a3a1116，所以 a2 716.又因为 an0，所以 a74，所以 a16a7q932，即 log2a165.(2)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6_.答案52解析方法一因为an是等比数列，所以 a1a7a2 4，a2a8a2 5，a3a9a2 6.所以 a2 4a2 5a2 6(a1a7)(a2a8)(a3a9)(a1a2a3)(a7a8a9)51050.因为 an0，所以 a4a5a652.方法二因为 a1a2a3(a1a3)a2a2 2a2a3 25，所以 a2135.因为 a7a8a9(a7a9)a8a3 810，所以 a81310.同理 a4a5a6a3 51133312332222528()()(510)505 2aa a.1知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列(2)等比数列中任意两项之间的关系(3)等比数列中多项之间的关系2方法归纳：公式法、类比思想3常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于 0 的项1在等比数列an中，若 a24，a532，则公比 q 应为()A12 B2 C.12 D2答案D解析因为a5a2q38，故 q2.2已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列3已知在等比数列an中，有 a3a7a109，则 a4a2 8等于()A3 B9 C20 D无法计算答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知 3710488，故 a4a2 89.4若正项等比数列an满足 a1a54，当1a24a4取最小值时，数列an的公比是_答案2解析设正项等比数列an的公比为 q(q 0)，因为 a1a54，所以由等比数列的性质可得 a2a44，因此1a24a421a24a42，当且仅当1a24a4，即a4a2q24，即 q2(负值舍去)时，等号成立所以数列an的公比是 2.课时对点练课时对点练1已知数列an满足 a15，anan12n，则a7a3等于()A4 B2 C5 D.52答案A解析因为 anan12n，所以 an1an2n1(n2)，所以an1an12(n2)，数列an的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故a7a3224.2在等比数列an中，a2，a18是方程 x26x40 的两根，则 a4a16a10等于()A6 B2 C2 或 6 D2答案B解析由题意知 a2a186，a2a184，所以 a20，a180，故 a100，所以 a10a2a182，因此 a4a16a10a2 10a102，故选 B.3在等比数列an中，若 a10，a218，a48，则公比 q 等于()A.32 B.23 C23 D.23或23答案C解析因为 a4a2q2，所以 q2a4a281849.又因为 a10，所以 q1)A 中，a2 na2n1(anan1)2q2为常数，故 A 正确；B 中，anan1an1anan1an1q2，故 B 正确；C 中，1an1an1an1an1q为常数，故 C 正确；D 中，lg|an|lg|an1|不一定为常数，故 D 错误7在正项等比数列an中，若 3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2 021a2 020a2 023a2 022_.答案19解析设正项等比数列an的公比 q0，3a1，12a3,2a2成等差数列，212a33a12a2，即 a1q23a12a1q，q22q30，q0，解得 q3.则原式a2 021a2 020q2a2 021a2 0201q219.8已知数列an为等比数列，且 a3a5，则 a4(a22a4a6)_.答案2解析因为数列an为等比数列，且 a3a5，所以 a4(a22a4a6)a4a22a2 4a4a6a2 32a3a5a2 5(a3a5)22.9已知数列an是等比数列，a3a720，a1a964，求 a11的值解an为等比数列，a1a9a3a764.又a3a720，a34，a716 或 a316，a74.当 a34，a716 时，a7a3q44，此时 a11a3q844264.当 a316，a74 时，a7a3q414，此时 a11a3q816(14)21.10已知数列an为等比数列(1)若 an0，且 a2a42a3a5a4a636，求 a3a5的值；(2)若数列an的前三项和为 168，a2a542，求 a5，a7的等比中项解(1)a2a42a3a5a4a636，a2 32a3a5a2 536，即(a3a5)236，又an0，a3a56.(2)设等比数列an的公比为 q，a2a542，q1.由已知，得Error!Error!Error!Error!解得Error!Error!若 G 是 a5，a7的等比中项，则有 G2a5a7a1q4a1q6a2 1q10962(12)109，a5，a7的等比中项为3.11设各项均为正数的等比数列an满足 a4a83a7，则 log3(a1a2a9)等于()A38 B39 C9 D7答案C解析因为 a4a8a5a73a7且 a70，所以 a53，所以 log3(a1a2a9)log3a9 5log3399.12已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2等于()A2 B1 C.12 D.18答案C解析方法一a3，a5的等比中项为a4，a3a5a2 4，a3a54(a41)，a2 44(a41)，a2 44a440，a42.又q3a4a12148，q2，a2a1q14212.方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，将 a114代入上式并整理，得 q616q3640，解得 q2，a2a1q12.13等比数列an是递减数列，前 n 项的积为 Tn，若 T134T9，则 a8a15等于()A2 B4 C2 D4答案C解析T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q0，a8a152.14在等比数列an中，若 a72，则此数列的前 13 项之积等于_答案213解析由于an是等比数列，a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a2 7，a1a2a3a13(a2 7)6a7a13 7，而 a72.a1a2a3a13(2)13213.15在等比数列an中，若 a7a116，a4a145，则a20a10_.答案23或32解析an是等比数列，a7a11a4a146，又 a4a145，Error!Error!或Error!Error!a14a4q10，q1032或 q1023.而a20a10q10，a20a1023或32.16已知an是等差数列，满足 a12，a414，数列bn满足 b11，b46，且anbn是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若任意 nN*，都有 bnbk成立，求正整数 k 的值解(1)设an的公差为 d，则 da4a134，所以 an2(n1)44n2，故an的通项公式为 an4n2(nN*)设 cnanbn，则cn为等比数列c1a1b1211，c4a4b41468，设cn的公比为 q，则 q3c4c18，故 q2.则 cn2n1，即 anbn2n1.所以 bn4n22n1(nN*)故bn的通项公式为 bn4n22n1(nN*)(2)由题意得，bk应为数列bn的最大项由 bn1bn4(n1)22n4n22n142n1(nN*)当 n0，bnbn1，即 b1b23 时，bn1bnbn1，即 b4b5b6所以 k3 或 k4.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的性质等比数列的性质在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.导导 语语一、由等比数列构造新等比数列一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示anan1d(n2，nN*)通项公式ana1(n1)dana1qn1类比差商；和积，积乘方性质等差数列首项a1，公差d等比数列首项a1，公比q把等差数列前k项去掉，得到一个以ak1为首项，以d为公差的等差数列把等比数列前k项去掉，得到一个以ak1为首项，以q公比的等比数列等差数列中，ak，akm，ak2m是以公差为md的等差数列等比数列中，ak，akm，ak2m是以公比为qm的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列1.在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.知识梳理知识梳理pq注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列.例1如果数列是等比数列 ，那么下列数列中不一定是等比数列的是所以anan1不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q0，求an.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式 ana1qn1(a1q0)可求出等比数列中的任意一项.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项.跟跟踪踪训训练练2(1)在等比数列an中，如果a1a418，a2a312，那么这个数列的公比为解析设等比数列an的公比为q(q0)，a1a418，a2a312，a1(1q3)18，a1(qq2)12，q1，化为2q25q20，解析等比数列an中，设其公比为q(q0)，A.16 B.8 C.4 D.2三、等比数列中多项之间的关系三、等比数列中多项之间的关系问问题题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的amanakal，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得amanakal，其中mnkl，m，n，k，lN*.推导过程：ama1qm1，ana1qn1，aka1qk1，ala1ql1，因为mnkl，所以有amanakal.设数列an为等比数列，则：(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则.(2)若m，p，n成等差数列，则成等比数列.注意点：(1)性质的推广：若mnpxyz，有amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1ana2an1.知识梳理知识梳理akalamanam，ap，an例3已知an为等比数列.解在等比数列an中，(2)若an0，a5a72a6a8a6a1049，求a6a8；即(a6a8)249，an0，a6a87.(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值.解由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.跟跟踪踪训训练练3(1)公比为 的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7解析因为a3a1116，又因为an0，所以a74，所以a16a7q932，即log2a165.(2)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.解析方法一因为an是等比数列，(a1a2a3)(a7a8a9)51050.所以a2 .所以a8 .1.知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列.(2)等比数列中任意两项之间的关系.(3)等比数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、类比思想.3.常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为123412342.已知an，bn都是等比数列，那么A.anbn，anbn都一定是等比数列B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列C.anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列D.anbn，anbn都不一定是等比数列解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.1234A.3 B.9 C.20 D.无法计算解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3710488，4.若正项等比数列an满足a1a54，当 取最小值时，数列 的公比是_.因为a1a54，所以由等比数列的性质可得a2a44，21234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16数列an的奇数项组成等比数列，12345678910 11 12 13 14 15 162.在等比数列an中，a2，a18是方程x26x40的两根，则a4a16a10等于A.6 B.2 C.2或6 D.2解析由题意知a2a186，a2a184，所以a20，a180，12345678910 11 12 13 14 15 163.在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于解析因为a4a2q2，又因为a10，所以q0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；解a2a42a3a5a4a636，即(a3a5)236，又an0，a3a56.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若数列an的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项.12345678910 11 12 13 14 15 16解设等比数列an的公比为q，a2a542，q1.若G是a5，a7的等比中项，a5，a7的等比中项为3.综合运用11.设各项均为正数的等比数列an满足a4a83a7，则log3(a1a2a9)等于A.38 B.39 C.9 D.7解析因为a4a8a5a73a7且a70，所以a53，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析方法一a3，a5的等比中项为a4，a42.q2，12345678910 11 12 13 14 15 16方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，解得q2，12345678910 11 12 13 14 15 1613.等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134T9，则a8a15等于A.2 B.4 C.2 D.4解析T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q0，a8a152.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之积等于_.解析由于an是等比数列，213而a72.a1a2a3a13(2)13213.解析an是等比数列，a7a11a4a146，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知an是等差数列，满足a12，a414，数列bn满足b11，b46，且anbn是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；解设an的公差为d，所以an2(n1)44n2，故an的通项公式为an4n2(nN*).设cnanbn，则cn为等比数列.c1a1b1211，c4a4b41468，12345678910 11 12 13 14 15 16则cn2n1，即anbn2n1.所以bn4n22n1(nN*).故bn的通项公式为bn4n22n1(nN*).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)若任意nN*，都有bnbk成立，求正整数k的值.解由题意得，bk应为数列bn的最大项.由bn1bn4(n1)22n4n22n142n1(nN*).当n0，bnbn1，即b1b23时，bn1bnbn1，即b4b5b6所以k3或k4.