苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列前n项和性质的综合问题》教案及课件.zip

习题课等差数列前习题课等差数列前 n 项和性质的综合问题项和性质的综合问题学习目标 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前 n 项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前 n 项和的求法一、等差数列中奇、偶项的和问题 1我们知道等差数列前 n 项和公式中的 n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示 S2n，S2n1吗？提示S2n2na1a2n2n(a1a2n)，S2n12n1a1a2n12，由等差数列的性质 mnpqamanapaq可知，a1a2nanan1，a1a2n12an，即 S2nn(anan1)，S2n1(2n1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示问题 2当总项数为 2n 项时，其奇数项和 S奇与偶数项和 S偶有何特点？提示S奇a1a3a2n1na1a2n12nan，S偶a2a4a2nna2a2n2nan1，则有 S偶S奇nan1nann(an1an)nd，S偶S奇nan1nanan1an.问题 3当总项数为 2n1 项时，其奇数项和 S奇与偶数项和 S偶有何特点？提示S奇a1a3a2n1na1a2n12nan，S偶a2a4a2n2n1a2a2n22(n1)an，则有 S奇S偶an，S奇S偶nn1.知识梳理1若等差数列an的项数为 2n，则 S2nn(anan1)，S偶S奇nd，S偶S奇an1an.2若等差数列an的项数为 2n1，则 S2n1(2n1)an1，S偶S奇an1，S偶S奇nn1.3设两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则anbnS2n1T2n1.注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是 1 和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半例 1(1)在等差数列an中，S10120，且在这 10 项中，S奇S偶1113，则公差 d_.答案2解析由Error!得Error!所以 S偶S奇5d10，所以 d2.(2)有两个等差数列an，bn满足a1a2a3anb1b2b3bn7n2n3，求a5b5.解方法一设等差数列an，bn的公差分别为 d1，d2，则a1a2a3anb1b2b3bnna1nn12d1nb1nn12d2a1n12d1b1n12d2，则有a1n12d1b1n12d27n2n3，又由于a5b5a14d1b14d2，观察，可在中取 n9，得a14d1b14d27 92936512.故a5b56512.方法二设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，则有AnBn7n2n3，其中 Ana1ann2，由于 a1a92a5.即a1a92a5，故 A9a1a992a59.同理 B9b59.故A9B9a5 9b5 9.故a5b5A9B97 92936512.方法三设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，因为等差数列的前 n 项和为 Snan2bnan(nba)，根据已知，可令 An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0)所以 a5A5A4(752)k5(742)k465k，b5B5B4(53)k5(43)k412k.所以a5b565k12k6512.方法四设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，由A2n1B2n1anbn，有a5b5A9B97 92936512.反思感悟一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项跟踪训练 1(1)等差数列共有 2n1 项，所有奇数项之和为 132，所有偶数项之和为 120，则 n 等于()A6 B8 C10 D12答案C解析S奇a1a3a2n1132，S偶a2a4a2n 120，S奇S偶a2n1ndan112，S2n1S奇S偶252(2n1)(a1a2n1)2(2n1)an112(2n1)，解得 n10.(2)已知数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是 50，偶数项的和为 34，若它的末项比首项小 28，则该数列的公差是_答案4解析设等差数列an的项数为 2m，末项与首项的差为28，a2ma1(2m1)d28，S奇50，S偶34，S偶S奇345016md，由得 d4.(3)若等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，anbnn1n，则S9T9_.答案65解析由等差数列前奇数项和性质，得S9T99a59b5a5b551565.二、含绝对值的等差数列的前 n 项和问题 4已知等差数列 an2n9，求|an|的前 n 项和提示设an的前 n 项和为 Sn，|an|的前 n 项和为 Tn.则当 n4 时，TnSnn28n，当 n5 时，Tn(a1)(a2)(a3)(a4)a5a6anS4(SnS4)Sn2S4n28n32.TnError!知识梳理1若一个等差数列 a10，且 ak0，ak10，则其绝对值的前 n 项和为 TnError!nN*.2若一个等差数列 a10，d0，且 ak0，ak10，此时 bn|an|an，数列bn的前 n 项和 Tn100nn2.当 n51 时，an0，此时 bn|an|an，由 b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前 n 项和 TnS50(S50Sn)2S50Sn22 500(100nn2)5 000100nn2.由得数列bn的前 n 项和为TnError!nN*.延伸探究本例中若 an2n101，求数列bn的前 n 项和解由本例可知，当 1n50 时，an0，b51b52bna51a52an.数列bn的前 n 项和 TnS50SnS50n2100n5 000，综上，TnError!nN*.反思感悟已知等差数列an，求绝对值数列|an|的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”跟踪训练 2在等差数列an中，a1023，a2522.(1)数列an前多少项和最大？(2)求|an|的前 n 项和 Sn.解(1)由Error!得Error!ana1(n1)d3n53.令 an0，得 n0；当 n18 时，an0，S130，S130，a70，a6|a7|，且公差 d0，所以|a7|最小4记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a19，S525，bn|an|，bn的前n 项和为 Tn，则 T10_.答案50解析设等差数列an的公差为 d，a19，S525.955 42d25，解得 d2.an92(n1)2n11.bn|an|，所以 bn|2n11|，T10|9|7|5|3|1|135792(13579)50.课时对点练课时对点练1 在等差数列an中，a2a4a63，a3a5a76，则an的前 8 项的和为()A3 B4 C5 D6答案B解析由等差中项的性质可知 a2a4a63a43，所以 a41，同理 a52，所以 a4a51，S84(a4a5)4.2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,2(a1a3a5)3(a8a10)60，则 S11的值为()A33 B44 C55 D66答案C解析Sn是等差数列an的前 n 项和，2(a1a3a5)3(a8a10)60，2(a1a12da14d)3(a17da19d)60，解得 a15d5，a65，S11112(a1a11)1122a611a655.3等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若anbn2n3n1，则S21T21的值为()A.1315 B.2335 C.1117 D.49答案C解析S21T2121a1a21221b1b212a1a21b1b21a11b112 113 1111117.4已知等差数列an的通项公式为 an5n，则|a1|a2|a10|等于()A24 B25 C26 D27答案B解析因为 an5n，所以当 n5 时，an0，当 n6 时，an5 时，an0；当 n5 时，an0；当 n0.当 n5 时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.当 n5 时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，TnError!11若数列an的前 n 项和是 Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于()A15 B35 C66 D100答案C解析易得 anError!|a1|1，|a2|1，|a3|1，令 an0，则 2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.12已知等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，且满足SnTn2n13n2，则a6b4等于()A.32 B.23 C.1314 D1答案D解析由题意，令 Snkn(2n1)，Tnkn(3n2)，a6b4S6S5T4T378k55k56k33k1.13 已知 Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前 n 项和，且SnTn2n14n2(nN*)，则a10b3b18a11b6b15_.答案4178解析因为 b3b18b6b15b10b11，所以a10b3b18a11b6b15a10a11b10b1110a10a1110b10b11S20T202 2014 2024178.14已知一个有 11 项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为_答案65解析由题意，得等差数列共有 11 项，所以奇数项的和为 S奇6a1a1126a6，其偶数项的和为 S偶5a2a1025a6，所以其奇数项的和与偶数项的和之比为65.15 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1 匹40 尺，一丈10 尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 6 尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，记该女子一个月中的第 n 天所织布的尺数为 an，则a1a3a29a2a4a30的值为()A.1415 B.1617 C.2324 D.23答案C解析由题意，得数列an为等差数列，a16，S301140310470，设数列an的公差为 d，由等差数列前 n 项和公式，得S3030630 (301)2d470，解得 d23，所以 an6(n1)2323n163，a1a3a29(a1a29)15215a15，a2a4a30(a2a30)15215a16，所以a1a3a29a2a4a30a15a1623 1516323 161632324.16已知数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，且数列Snn是公差为 2 的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn(1)nan，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)因为数列Snn是公差为 2 的等差数列，且S11a11，所以Snn1(n1)22n1，所以 Sn2n2n，又因为 anSnSn1(n 2)，所以当 n2 时，anSnSn14n3，又因为 a11 符合 n2 的情况，所以 an4n3.(2)因为 bn(1)nan(1)n(4n3)，当 n 为偶数时，Tn(1)5(9)13(4n7)(4n3)，所以 Tn(1)5(9)13(4n7)(4n3)4n22n，当 n 为奇数时，TnTn1bn2(n1)(4n3)12n，综上可知，TnError!苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列前等差数列前n n项和性质的综项和性质的综合问题合问题一、等差数列中奇、偶项的和一、等差数列中奇、偶项的和问题1我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n1吗？由等差数列的性质mnpqamanapaq可知，a1a2nanan1，a1a2n12an，即S2nn(anan1)，S2n1(2n1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示.问题2当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？则有S偶S奇nan1nann(an1an)nd，问题3当总项数为2n1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？知识梳理知识梳理注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是 1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半.例1(1)在等差数列an中，S10120，且在这10项中，则公差d_.所以S偶S奇5d10，所以d2.2解方法一设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，方法二设an，bn的前n项和分别为An，Bn，由于a1a92a5.同理B9b59.方法三设an，bn的前n项和分别为An，Bn，根据已知，可令An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0).所以a5A5A4(752)k5(742)k465k，b5B5B4(53)k5(43)k412k.方法四设an，bn的前n项和分别为An，Bn，反思感悟一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项.跟踪训练1(1)等差数列共有2n1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于A.6 B.8 C.10 D.12解析S奇a1a3a2n1132，S偶a2a4a2n 120，S奇S偶a2n1ndan112，解得n10.(2)已知数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_.解析设等差数列an的项数为2m，末项与首项的差为28，a2ma1(2m1)d28，S奇50，S偶34，S偶S奇345016md，由得d4.4二、含绝对值的等差数列的前二、含绝对值的等差数列的前n项和项和问题4已知等差数列an2n9，求|an|的前n项和.提示设an的前n项和为Sn，|an|的前n项和为Tn.则当n4时，TnSnn28n，当n5时，Tn(a1)(a2)(a3)(a4)a5a6anS4(SnS4)Sn2S4n28n32.1.若一个等差数列a10，且ak0，ak10，则其绝对值的前n项和为Tn nN*.2.若一个等差数列a10，d0，且ak0，ak10，此时bn|an|an，数列bn的前n项和Tn100nn2.当n51时，an0，此时bn|an|an，由b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前n项和TnS50(S50Sn)2S50Sn22 500(100nn2)5 000100nn2.延伸探究本例中若an2n101，求数列bn的前n项和.解由本例可知，当1n50时，an0，b51b52bna51a52an.反思感悟已知等差数列an，求绝对值数列|an|的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练跟踪训练2在等差数列an中，a1023，a2522.(1)数列an前多少项和最大？ana1(n1)d3n53.当n18时，an0，S130，S130，a70，a6|a7|，且公差d0，所以|a7|最小.a19，S525.50an92(n1)2n11.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在等差数列 中，a2a4a63，a3a5a76，则 的前8项的和为A.3 B.4 C.5 D.6解析由等差中项的性质可知a2a4a63a43，所以a41，同理a52，所以a4a51，S84(a4a5)4.12345678910 11 12 13 14 15 16A.33 B.44 C.55 D.6612345678910 11 12 13 14 15 16解得a15d5，a65，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析因为an5n，所以当n5时，an0，当n6时，an5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.12345678910 11 12 13 14 15 16当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0，则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意，令Snkn(2n1)，Tnkn(3n2)，12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为b3b18b6b15b10b11，12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为_.解析由题意，得等差数列共有11项，拓广探究15.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹40尺，一丈10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则 的值为12345678910 11 12 13 14 15 16a16，S301140310470，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又因为a11符合n2的情况，所以an4n3.12345678910 11 12 13 14 15 16