1、专题研究 导数的综合运用 专 题 讲 解 题型一 导数与函数图像 (2016 课标全国 ) 函数 y 2x2 e| x |在 2 ， 2 的图像大致为 ( ) 【解析】 当 x 0 时 ， 令函数 f (x) 2x2 ex， 则 f (x) 4x ex， 易知 f (x) 在 0 ， ln4 ) 上单调递增 ， 在 ln4 ， 2 上单调递 减 ，又 f (0) 10 ， f (1) 4 e0 ， f (2) 8 e20 ， 所以存在 x0 (0 ，12) 是函数 f (x) 的极小值点 ， 即函数 f (x)在 (0 ， x0) 上单调递减 ， 在 (x0， 2 ) 上单调递增 ， 且该函数
2、为偶函数 ，符合条件的图像为 D. 【答案】 D 状元笔记 给定解析式选函数的图像是近几年高考重点 ， 并且难度在增大 ， 多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势 ， 利用导数求极值 ( 最值 ) 研究零点 思考题 1 (2017 杭州质检 ) 设函数 f (x) x2sinx ， 则函数f (x) 的图像可能为 ( ) 【解析】 因为 f( x) ( x)2sin ( x) x2s inx f (x) ，所以 f (x) 是奇函数又因为 f (x) 2x sinx x2cosx ， 所以 f (0) 0 ， 排除 A ；且当 x 0 ， 时 ， 函数值为正实数 ， 排除 B ；当x ( ，
3、2 ) 时 ， 函数值为负实数 ， 排除 D ， 故选 C. 【答案】 C 题型二 导数与不等式 (1) (2018 上海春季高考题 ) 设 a0 ， 函数 f (x) 11 a 2x. 求函数 y f (x) f ( x) 的最大值 ( 用 a 表示 ) ； 设 g(x) f (x) f(x 1) ， 若对任意 x ( ， 0 ， g (x) g(0)恒成立 ， 求 a 取值范围 【解析】 y f (x) f ( x) 11 a 2x11 a 2 x 11 a2 a （ 2x 2 x）， 2x 2 x 2 ， 当且仅当 x 0 时 “ ” 成立 当 x 0 时 ， ym ax11 a2 2a. g (x) f (x) f(x 1) 11 a 2x11 a 2x 111 a 2x22 a 2x， g ( x) a 2x ln2（ 1 a 2x）22 a 2x ln2（ 2 a 2x）2 a 2x ln2 （ a2 22x 2 ）（ 2 a 2x）2（ 1 a 2x）2 0 在 x ( ， 0 恒成立 即 a2 22x 2 0 在 x ( ， 0 恒成立 a2 (222x )m in， a2 2. a ( 0 ， 2 【答案】 当 x 0 时 ， ym ax11 2a a2 (0 ， 2
