1、,16.1 二根次式,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下（RJ） 教学课件,第2课时 二次根式的性质,1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点） 2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）,导入新课,情景引入,问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a0,1,我们都是非负数哟,问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a为任意数,我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.,思考
2、你发现了什么？,正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又面积为a， 即 .,讲授新课,活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？,这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？,活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？,.,算术平方根,平方运算,0 2 4 .,a(a0),02 = 0 .,观察两者有什么关系？,22 = 4,4,2,0,根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：,是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此
3、. 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.,归纳总结,的性质：,一般地， a (a 0).,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.,注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.,典例精析,例1 计算：,解：,(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？,积的乘方： （ab）2=a2b2,例2 在实数范围内分解因式：,解：,本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.,练一练,计算：,解:,.,平方运算,算术平方根,2 0.1 0 .,a(a0),2 .,观察两者有什么关系？,填一填：,a (a0).,
4、.,平方运算,算术平方根,-2 -0.1 .,2 .,观察两者有什么关系？,a(a0),思考：当a0时， =,？,-a,归纳总结,a (a0),-a (a0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.,的性质：,例3 化简：,解：,计算：,练一练,解:,辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,议一议：如何区别 与 ？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a0,a取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数a的算术平方根的平方,表示一个实数a的平方的算术平方根,例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:,解
5、：由数轴可知a0，b0，a-b0， 原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.,a,b,【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .,解：根据数轴可知ba0， a+2b0，a-b0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b,利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.,例5 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：,解：a、b、c是ABC的三边长， a+bc，b+ca，b+ac， 原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b
6、-c+a+b+a-c =3a+b-c,分析：,利用三角形三边关系,三边长均为正数，a+bc,两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0,用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.,概念学习,数,表示数的字母,想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？,代数式,整式,分式,二次根式,（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；,例6,解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h,（2）如图，小语要制作一个长与宽
7、之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.,（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为,列代数式的要点： 要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； 理清语句层次明确运算顺序； 牢记一些概念和公式,归纳总结,1.在下列各式中，不是代数式的是（ ） A.7 B.32 C. D,B,练一练,2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.,方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“”或“”等.,当堂练习,1.化简 得（ ） A. 4 B. 2 C
8、. 4 D.-4,C,2. 当1x3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1,D,3.下列式子是代数式的有 ( ),a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）; x10; 10x+5y=15 ; ,A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,C,4.化简： （1） ; （2） ; （3） ; （4） .,3,7,4,81,5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .,1,6.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .,7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.,解：由题意得a+20，-4-2a0， a=-2， .,(2)已知a为实数，求代数式 的值.,解：由题意得-a20，又a20， a2=0，a=0， ,能力提升：,课堂小结,二次根式,性质,拓展性质,|a|（a为全体实数）,
