1、高考数学,1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是圆心,定长就是半径.2.圆的标准方程(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程;(2)特别地,以原点为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.3.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为?+?=?.,知识清单,(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以?为圆心,?为半径的圆;(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示点?;(3)当D2+E2-4Fr2,则点P在圆外;(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;(3)若(x
2、0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在圆内.拓展延伸1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式,定参数”是求圆的方程的基本方法,即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用圆的性质.,2.解答圆的问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质简化运算.3.求圆的方程时,一般考虑待定系数法.如果能借助圆的一些几何性质进行解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算量.如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题.,求圆的方程的方法1.选择方程形式的原则求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列
3、方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程.2.求圆的方程的方法和步骤求圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,设出圆的标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,方法技巧,3.在求圆的方程时,常用到的圆的几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的垂直平分线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.例1根据下列条件,求圆的方程.(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;(2)圆心在
4、直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).,解析(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q两点的坐标分别代入得2D-4E-F=20,3D-E+F=-10.令y=0,得x2+Dx+F=0.设x1,x2是方程的两根,由|x1-x2|=6得D2-4F=36,由解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.(2)解法一:设圆心坐标为M(x0,-4x0),依题意得MPl,所以?=1,x0=1,所以圆心坐标为(1,-4),半径r=2?,故圆的方程为(x-1)2+(y+4
5、)2=8.解法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得?解得?因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,与圆有关的最值问题的求解方法1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合求解.2.常见的最值问题有以下几种类型:(1)形如=?的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.例2已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求MQ的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求?的最大值和最小值.,解析(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2?.又QC=?=4?,所以MQmax=4?+2?=6?,MQmin=4?-2?=2?.(2)易知?表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,且?=k.因为直线MQ与圆C有交点,所以?2?,可得2-?k2+?,所以?的最大值为2+?,最小值为2-?.,
