1、第 2讲 等差数列及其前 n项和 第五章 数列 1 等差数列的定义 一般地 ， 如果一个数列从第二项起 ， 每一项减它的前一项所得的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的公差 ， 通常用字母 d 表示，定义表达式为 an an 1 d ( 常数 ) ( n N*， n 2 ) 或 an 1 an d ( 常数 ) ( n N*) 2 等差数列的通项公式 若等差数列 an 的首项为 a1， 公差为 d ， 则其通项公式为 an a1 ( n 1) d .亦可以用数列中的第 m 项 am与公差 d 表示为 an am ( n m ) d . 3 等差中项 若三
2、个数 a ， A ， b 成等差数列 ， 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项 ，且有 A a b2. 4 等差数列 an 的前 n 项和公式 Sn na1n （ n 1 ）2d n （ a1 an）2. 5 等差数列的性质 已知数列 an 是等 差数列， Sn是其前 n 项和 ( 1) 若 m n p q ， 则 am an ap aq， 特别地：若 m n 2 p ， 则 am an 2 ap. ( 2) am， am k， am 2 k， am 3 k， ? ， 仍是等差数列 ， 公差为 kd . ( 3) 数列 Sm， S2 m Sm， S3 m S2 m， ? ， 也是等差数列 1
3、在等差数列 a n 中 ， a 1 x 2 ， a 2 x ， a 3 2 x 1 ， 则 x _ _ _ _ _ 解析 由等差数列定义知 2 x x 2 2 x 1 ， 解得 x 1. 1 2 在数列 a n 中 ， a 1 3 ， 且对任意大于 1 的正整数 n ， a n a n 1 3 ， 则 a n _ _ _ _ 解析 由定义知 a n 是以 3 为首项 ， 以 3 为公差的等差数列 ， 故 a n 3 n ， 即 a n 3 n 2 . 3 n 2 3 已知 数列 a n 是等差数列 ， 且 a 1 a 5 a 9 a 13 a 1 7 1 17 ，则 a 3 a 15 _ _
4、_ _ 234 解析 由等差中项公式可得 2 a 9 a 5 a 13 ， 又 1 17 5 13 ， 所以 a 1 a 17 a 5 a 13 .由题设易知 a 9 1 17. 所以 a 3 a 15 2 a 9 2 34. 4 设 a n 是等差数列 ， 若 a 5 6 ， 则数列 a n 前 9 项的和为_ _ _ 解析 等差数列 a n 前 9 项的和 S 9 9 （ a 1 a 9 ）2 9 a 5 54. 54 5 设等差 数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 若 S 3 9 ， S 6 36 ， 则a 7 a 8 a 9 _ _ _ _ 45 解析 由 a n 为等差数列 ， 则 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 也成等差数列 ， 故 2 ( S 6 S 3 ) S 3 ( S 9 S 6 ) ， 即 a 7 a 8 a 9 S 9 S 6 45 . 1 必明辨的 2 个易错点 ( 1) 判断等差数列忽视首项 ( 2 ) 等差数列一些重要性质能为解题带来方便 ， 但做题时不能想当然 ， 运用性质公式要 有理有据 ， 不能混淆一些性质
