1、 1.2 命题的四种形式、充要条件 高考数学 1.四种命题及其关系 (1)四种命题 知识清单 命题 表述形式 原命题 若 p,则 q 逆命题 若 q,则 p 否命题 若 p,则 q 逆否命题 若 q,则 p (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假关系 a.两个命题互为逆否命题 ,它们有 相同 的真假性 ; b.两个命题互为逆命题或互为否命题 ,它们的真假性 没有关系 . 2.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p是 q的 充分 条件 ,q是 p的 必要 条件 . (2)如果 p?q,q?p,则 p是 q的 充要 条件 . (3)从集合角度理解 若 p以集合 A的形式出现 ,q以集
2、合 B的形式出现 ,即 A=x|p(x),B=x|q(x), 则 a.若 A?B ,则 p是 q的充分条件 ; b.若 A?B ,则 p是 q的必要条件 ; c.若 A=B ,则 p是 q的充要条件 . 四种命题的关系及真假的判断 1.命题真假的判断 :对于命题真假的判断 ,首先要分清命题的条件与结 论 ,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假 . 2.掌握原命题和逆否命题 ,否命题和逆命题的等价性 ,当一个命题的真假 不易判断时 ,可以判断其逆否命题的真假 . 3.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念 .如果原命题是“若 p,则 q” ,那么这个命题的否定是“若 p,则 q” ,只
3、否定结论 ;而原命题的 否命题是“若 p,则 q” ,既否定命题的条件 ,又否定命题的结论 . 方法技巧 方法 1 例 1 (1)命题“ a,b R,若 a2+b2=0,则 a=b=0”的逆否命题是 . (2)下列命题是假命题的是 (填序号 ). 命题“若 x 1,则 x2-3x+2 0”的逆否命题是“若 x2-3x+2=0,则 x=1” ; 若 02”是“ -1 0”的充分不必要条件 . 2?31x?解析 (1)a=b=0的否定为 a 0或 b 0;a2+b2=0的否定为 a2+b2 0,故原命 题的逆否命题为“ a,b R,若 a 0或 b 0,则 a2+b2 0” . (2)命题 ,根据
4、命题的四种形式 ,可知命题“若 p,则 q”的逆否命题是 “若 q,则 p” ,故该命题正确 ;命题 ,因为 02”是“ -1 0” 的充分不必要条件 ,该命题正确 .故填 . 2?31x? 31x?答案 (1)“ a,b R,若 a 0或 b 0,则 a2+b2 0” (2) 充分条件与必要条件的判断 1.利用定义判断 :定条件 :确定命题中的条件和结论 ;找推式 :是 A?B 的形式 ,还是 B?A的形式 ;下结论 :根据定义下结论 . 2.利用集合判断 : 方法 2记法 A=x|p(x),B=x|q(x) 关系 A?B B?A A=B A?B且 B?A 结论 p是 q的充分不必要条件 p
5、是 q的必要不充分条件 p是 q的充要条件 p是 q的既不充分也不必要条件 3.利用等价转化法判断 :A?B与 B?A,B?A与 A?B,A?B与 B ?A是等价关系 .一般地 ,对于条件或结论是不等关系 (否定式 )的命题 , 运用等价法 . 例 2 (1)(2016江苏南京、盐城一模 ,7)设函数 f(x)=cos(2x+),则“ f(x)为 奇函数”是“ = ”的 条件 .(选填“充分不必要”“必 要不充分”“充要”“既不充分也不必要” ) (2)(2016四川理改编 ,7,5分 )设 p:实数 x,y满足 (x-1)2+(y-1)2 2,q:实数 x,y满 足 则 p是 q的 条件 (填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要” ). 2?1,1,1,yxyxy? ? ?解析 (1)当 = 时 ,f(x)=-sin 2x为奇函数 ,故必要性成立 ;而当 = +2 时 ,f(x)=-sin 2x也为奇函数 ,所以充分性不成立 . (2)如图 ,作出 p,q表示的区域 ,其中 M及其内部为 p表示的区域 , ABC 及其内部 (阴影部分 )为 q表示的区域 ,故 p是 q的必要不充分条件 . 2? 2?答案 (1)必要不充分 (2)必要不充分
