1、高考研究课 (四 ) 轨迹方程求解 3方法 直接法、定义法、代入法 全国卷 5 年命题分析 考点 考查频度 考查角度 定义法求轨迹方程 5年 1考 由圆与圆位置关系求动点轨迹、求弦长 直接法求轨迹方程 5年 2考 求中点的轨迹方程 代入法求轨迹方程 5年 1考 求点的轨迹方程 03 02 01 方法一 直接法 方法三 相关点法（代入法 ） 求轨迹方程 方法二 定义法 目 录 04 课堂真题集中演练 05 高考达标检测 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“ 翻译 ” 成含 x ， y 的等式，就得到曲线的轨迹方程 .由于这
2、种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法 . 典例 ( 1) ( 2018 津南模拟 ) 平面直角坐标系中，已知两点A ( 3,1) ， B ( 1,3) ，若点 C 满足 OC 1OA 2OB ( O 为原点 ) ，其中 1， 2 R ，且 1 2 1 ，则点 C 的轨迹是 ( ) A 直线 B 椭圆 C 圆 D 双曲线 ( 2) 在平面直角坐标系 x Oy 中，点 B 与点 A ( 1,1) 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13，则动点 P 的轨迹方程为 _ 解析 ( 1) 设 C ( x ， y ) ，因为 OC 1OA
3、2OB ， 所以 ( x ， y ) 1( 3,1) 2( 1,3) ， 即?x 3 1 2，y 1 3 2，解得?1y 3 x10，23 y x10，又 1 2 1 ， 所以y 3 x103 y x10 1 ， 即 x 2 y 5 0 ，所以点 C 的轨迹为直线 ( 2) 因为点 B 与点 A ( 1 ,1) 关于原点 O 对称， 所以点 B 的坐标为 (1 ， 1) 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，由题意得y 1x 1y 1x 113， 化简得 x2 3 y2 4( x 1) 故动点 P 的轨迹方程为 x2 3 y2 4( x 1) 答案 ( 1) A ( 2) x 2 3 y
4、2 4( x 1) 方法技巧 利用直接法求轨迹方程的思路及注意点 (1) 利用直接法求解轨 迹方程的关键是根据 条件准确列出方程，然后进行化简 (2) 运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 即时演练 已知点 A ( 2,0) ， B ( 3,0) ，若动点 P 满足 PA PB 2 ，则动点 P 的轨迹方程为 _ _ 解析： 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，则 PA ( 2 x ， y ， ) PB (3 x ， y ) 由 PA PB 2 ，得 ( 2 x )(3 x ) y2 2 ，整理得动点 P 的轨迹方程为 x2 y2 x 8 0. 答案： x 2 y 2 x 8 0 定义法 若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的轨迹方程
