1、第四节数列求和,总纲目录,教材研读,1.求数列的前n项和的方法,考点突破,2.常见的裂项公式,考点二裂项相消法求和,考点一错位相减法求和,考点三分组转化法求和,1.求数列的前n项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=?=na1+?.(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;,教材研读,当q1时,Sn=?=?.(2)分组转化法把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列之和,再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广.,
2、2.常见的裂项公式(1)?=?-?;(2)?=?;(3)?=?-?.,答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=?+?=2n+1-2+n2.故选C.,C,2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是?()A.13B.-76C.46D.76,答案BS15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,B,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5
3、+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.,3.数列?的前n项之和为?,则n=.,3.数列?的前n项之和为?,则n=.,答案99,解析由题意得?+?+?+?=?-?+?-?+?-?+?-?=1-?=?,令?=?,解得n=99.,99,4.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn=.,(n-1)2n+1+2,典例1(2015北京朝阳一模)设数列an的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*.(1)写出a2,a3,a4的值;(2)求数列an的通项公式;(3)已知等差数列bn
4、中,有b2=a2,b3=a3,求数列anbn的前n项和Tn.,考点一错位相减法求和,考点突破,所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2,?2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,?-,得-Tn=24+25+26+27+2n+2-(n-1)2n+3=?-(n-1)2n+3=-16-(n-2)2n+3.所以Tn=16+(n-2)2n+3.,方法技巧(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式
5、两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,1-1已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.,考点二裂项相消法求和,典例2(2016北京东城二模)已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,其前n项和为Sn.(1)求an的通项公式及Sn;(2)令bn=?(nN*),求数列bn的前8项和.,解析(1)设等差数列an的公差为d,由
6、a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=?n=?n=n2+2n.(2)由bn=?,得bn=?=?=?-?.设bn的前n项和为Tn,则T8=?+?+?+?=1-?=?.故数列bn的前8项和为?.,易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,2-1(2018北京海淀高三期中)已知等比数列an满足a1a2a3=8,a5=16.(1)求an的通项公式及前n项和Sn;(
7、2)设bn=log2an+1,求数列?的前n项和Tn.,解析(1)设等比数列an的公比为q.因为a1a2a3=8,且a1a3=?,所以?=8,解得a2=2,又因为a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(nN+),所以Sn=?=?=2n-1.(2)因为an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以?=?=?-?.所以数列?的前n项和Tn=?+?+?=1-?=?.,典例3(2017北京西城一模)已知an是等比数列,a1=3,a4=24.数列bn满足b1=1,b4=-8,且an+bn是等差数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项
8、和.,考点三分组转化法求和,解析(1)设等比数列an的公比为q.由题意得q3=?=8,解得q=2.所以an=a1qn-1=32n-1.设等差数列an+bn的公差为d.由题意得d=?=?=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.从而bn=4n-32n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=4n-32n-1.设bn的前n项和为Sn.,规律总结(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an的前n项和.(2)对于通项公式为an=?的数列,其中bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.(3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.,3-1(2016北京海淀二模)已知等差数列an的通项公式为an=4n-2,各项都是正数的等比数列bn满足b1=a1,b2+b3=a3+2.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列an+bn的前n项和Sn.,
