1、第九节 圆锥曲线中的最值、 范围、证明问题 本节主要包括 3 个知识点： 1. 圆锥曲线中的最值问题； 2. 圆锥曲线中的范围问题； 3. 圆锥曲线中的几何证明问题 . 01 突破点 (一 ) 圆锥曲线中的最值问题 02 突破点 (二 ) 圆锥曲线中的范围问题 04 全国卷 5年真题集中演练 明规律 课时达标检测 05 03 突破点 (三 ) 圆锥曲线中的几何证明问题 01 突破点 (一 ) 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的
2、定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 ? 些 ? 参数的函数 ? 解析式 ? ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 . 全析考法 例 1 设 P 是椭圆x225y29 1 上一点， M ， N 分别是两圆： ( x 4)2 y2 1 和 ( x 4)2 y2 1 上的点，则 | PM | | PN |的最小值、最大值分别为 ( ) A 9,12 B 8,1 1 C 8,12 D 10,12 利用几何性质求最值 解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知 | PA | | PB | 2 a 10 ，连接 PA ，P
3、B 分别与圆相交于两点，此时 | PM | | PN |最小，最小值为 | PA | | PB | 2 R 8 ；连接 PA ， PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时 | PM | | PN | 最大，最大值为 | PA | | PB | 2 R 12 ，即最小值和最大值分别为 8, 12. 答案 C 方法技巧 当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解，即利用曲线的定义、几何性质 以及平面几何中的定理、性质等解决，该方法叫做几何法 建立目标函数求最值 例 2 (2017 浙江高考 ) 如图，已知抛物线 x2 y ，点 A?12，14， B?32，94，抛物线上的点 P ( x
4、 ， y )?12 x 32. 过点 B 作直线AP 的垂线，垂足为 Q . (1) 求直线 AP 斜率的取值范围； (2) 求 | PA | | PQ |的最大值 解 (1 ) 设直线 AP 的斜率为 k ， k x214x 12 x 12， 因为12 x 32， 所以直线 AP 斜率的取值范围是 ( 1,1) (2) 设直线 AP 的斜率为 k ， 则直线 AP 的方程为 y 14 k?x 12， 即 kx y 12k 14 0 ， 因为直线 BQ 与直线 AB 垂直， 所以直线 BQ 的方程为 x ky 94k 32 0 ， 联立?kx y 12k 14 0 ，x ky 94k 32 0 ，解得点 Q 的横坐标 xQ k2 4 k 32 ? k2 1 ?. 因为 | PA | 1 k2?x 12 1 k2( k 1) ， | PQ | 1 k2( xQ x ) ? k 1 ? k 1 ?2k2 1， 所以 | PA | | PQ | ( k 1)( k 1)3. 令 f ( k ) ( k 1)( k 1)3， 因为 f ( k ) (4 k 2 )( k 1)2， 所以 f ( k ) 在区间? 1 ，12上单调递增，?12， 1 上单调递减，因此当 k 12时， | PA | | PQ | 取得最大值2716.
