1、,函数、导数及其应用,第二章,第16讲导数与函数的综合问题,栏目导航,1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路,3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究4导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(
2、3)把方程解的问题转化为函数的零点问题,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x) a”(),解析yx281，令y0得x9或x9(舍去)，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,C,3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续
3、且f(x) g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以在f(x)的三个单调区间(1,1)，(1,3)，(3，)上，直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)b0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数F(x)f(x)g(x)的零点，这往往就是解决问
4、题的一个突破口,四利用导数研究恒成立(或存在性)问题,利用导数研究不等式恒成立问题的方法(1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使ag(x)恒成立，只需ag(x)max，要使ag(x)恒成立，只需ag(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)0即可求出a的取值范围(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式,【例4】 已知函数f(x)x22x，g(x)xex.(1)求f(x)g(x)的极值；(2)当x(2,0)时
5、，f(x)1ag(x)恒成立，求实数a的取值范围,1做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A3B4C6D5,A,2已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.,4，),4(2018安徽安庆模拟)已知f(x)xln x，证明：当x1时，2xef(x)证明令g(x)f(x)2xe，则g(x)f(x)2ln x1令g(x)0，得xe.当x(1，e)时，g(x)0，g(x)在(1，e)内单调递减，在(e，)内单调递增g(x)极小值g(e)f(e)2ee0.又g(1)f(1)2ee20，g(x)在1，)内的最小值为0，g(x)g(x)min0，f(x)2xe0，即2xef(x),易错点忽视定义域出错、求导出错，非等价转化出错,【跟踪训练1】 已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若?x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_.,适用对象：高中学生,制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3,运行环境：WindowsXP以上操作系统,
