1、第六节 抛 物 线 本节主要包括 2 个知识点： 1. 抛物线的定义及其应用； 2. 抛物线的标准方程及性质 . 01 突破点 (一 ) 抛物线的定义及其应用 02 突破点 (二 ) 抛物线的标准方程及性质 课时达标检测 04 03 全国卷 5年真题集中演练 明规律 01 突破点 (一 ) 抛物线的定义及其应用 基本知识 完成情况 抓牢双基 自学区 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的 的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的 距离相等 焦点 准线 基本能力 1 判断题 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距
2、离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2) AB 为抛物线 y2 4 x 的过焦点 F 的弦，若 A ( x1， y1) ， B ( x2，y2) ，则 x1x2 1 ， y1y2 1 ，弦长 | AB | x1 x2 2. ( ) 2 填空题 (1) 若点 P 到点 F (0,2) 的距离比它到直线 y 4 0 的距离小2 ，则点 P 的轨迹方程为 _ 解析： 由题知点 P 到 (0, 2) 的距离与到直线 y 2 的距离相等，所以点 P 的轨迹为抛物线，由抛物线的定义知轨迹方程为 x2 8 y . 答案： x 2 8 y (2) 若抛物线 y 4 x2上的一点 M 到焦点的距离为 1 ，
3、则点 M 的纵坐标是 _ _ 解析： M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y 116，设 M ( x ， y ) ，则 y 116 1 ， y 1516. 答案 ： 1516 全析考法 完成情况 研透高考 讲练区 例 1 (1) (2018 赣州模拟 ) 若点 A 的坐标为 (3,2) ， F 是抛物线 y2 2 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使 | MF | | MA |取得最小值的 M 的坐标为 ( ) A (0,0) B.?12， 1 C (1 ， 2 ) D (2,2) (2) 已知 M 是抛物线 x2 4 y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆 C ：(
4、x 1)2 ( y 5)2 1 上，则 | M A | | MF |的最小值是 _ _ (3) 已知直线 l1： 4 x 3 y 6 0 和直线 l2： x 1 ，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 _ _ 利用抛物线的定义求解距离问题 解析 (1) 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N ( 图略 ) ，则| MF | | MA | | MN | | MA | ，当 A ， M ， N 三点共线时， | MF | | MA | 取得最小值，此时 M (2,2) (2) 依题意，由点 M 向抛物线 x2 4 y 的准线 l ： y 1 引垂线，垂足为 M
5、1( 图略 ) ，则有 | MA | | MF | | MA | | MM1| ，结合图形可知 | MA | | MM1| 的最小值等于圆心 C ( 1 ， 5) 到 y 1的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6 1 5 ，因此 | MA | | MF |的最小值是 5. (3) 由题可知 l2： x 1 是抛物线 y2 4 x 的准线，设抛物线的焦点为 F (1,0) ，则动点 P 到 l2的距离等于 | PF | ，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1： 4 x 3 y 6 0 的距离，所以最小值是|4 0 6|5 2. 答案 (1) D (2)5 ( 3)2 方法技巧 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化 “ 看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线 ” ，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径
