1、1.3 条件概率与贝叶斯公式条件概率与贝叶斯公式 1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 实际中，有时会遇到在某一事件实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条已经发生的条件下，求另一事件件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为发生的概率，称这种概率为A发生发生的条件下的条件下B发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为(|)P B A，这种概率，这种概率一般不同于一般不同于()P B 例例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男孩，问另一是男
2、孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）还是女是等可能的）？解解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间间 =(男男,男男)、(男男,女女)、(女女,男男)、(女女,女女)设设A=两个小孩中至少有一个男孩两个小孩中至少有一个男孩，B=两个小孩中两个小孩中至少有一个女孩至少有一个女孩，C=一个男孩子一个女孩一个男孩子一个女孩，从而，从而 例例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）是等可能
3、的）？解解B=(女女,女女),(男男,女女),(女女,男男).显然，显然，P(A)=P(B)=3/4。现在。现在 B 已经发生，排已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的缩小到现在的 B=B，而事件相应地缩小到，而事件相应地缩小到 C=(男男,女女)，(女女,男男)，因此，因此A=(男男,男男),(男男,女女),(女女,男男)，C=(男男,女女),(女女,男男).22/4()(|)33/4()P ABP A BP B ()p A 定义定义1 设设 A，B为随机试验为随机试验 E 的两个事件，的两个事件，且且 P(A)
4、0，则称，则称1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式为在事件为在事件 A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率.注：注：条件概率与普通概率有相类似的性质：条件概率与普通概率有相类似的性质：()(|)()P ABP B AP A 若若 BC，则，则 P(BC)|A)=P(B|A)+P(C|A).(2)(|)1(|).P B AP B A 条件概率的性质条件概率的性质1 1 非负性非负性0(|)1,P A B2 2 规范性规范性(|)0,(|)1,PBPB3 3 可加性可加性121212(|)(|)(|),.P AABP A BP AB AA其他概率的性质
5、如单调性其他概率的性质如单调性,减法公式减法公式,加法公式等加法公式等条件概率同样具备条件概率同样具备.(1)在缩减的样本空间在缩减的样本空间A中求中求B的的概率，就得到概率，就得到P(B|A).32)|(AABnnABP(2)在在中中,先求先求P(AB)和和P(A),在按定义计算在按定义计算P(B|A)()()|(APABPABP326.04.0 计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:例例2 设试验设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。为掷两颗骰子，观察出现的点数。用用B表示事件表示事件“两颗骰子的点数相等两颗骰子的点数相等”，用，用A表示事表示事件件“两颗骰子的点数之和为两颗骰子的
6、点数之和为4”，求，求 解一解一 以以(i,j)表示两颗骰子的点数，则样本空间表示两颗骰子的点数，则样本空间于是所求概率为于是所求概率为()1 361(|),()6 366P ABP A BP B (|),(|).P A B P A B一共有一共有36个事件。且个事件。且B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).A=(1,3),(2,2),(3,1)，(2,2),(1,3),(3,1)ABAB ()2 361(|).()30 3615P ABP A BP B 例例2 设试验设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。为掷两颗骰子，观察出现的点数。用用B表示事件表示事
7、件“两颗骰子的点数相等两颗骰子的点数相等”，用，用A表示事表示事件件“两颗骰子的点数之和为两颗骰子的点数之和为4”，求，求 解二解二 当当B发生时，样本空间缩减为发生时，样本空间缩减为于是，于是，(|),(|).P A B P A B在新样本空间在新样本空间B中，中，(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)B (2,2),A 1(|).6P A B 当当于是，于是，在新样本空间在新样本空间BB (1,3),(3,1),A B21(|).3015P A B 发生时，样本空间缩减为发生时，样本空间缩减为B中中，例例 设某种动物由出生后活到设某种动物由出生后活到20岁的
8、概率为岁的概率为0.8，活到活到25岁的概率为岁的概率为0.4，求现龄为，求现龄为20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25岁的概率？岁的概率？解解 设设A=活到活到20岁岁，B=活到活到25岁岁，则则P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率为于是所求概率为由于由于A B，有，有AB=B，因此，因此P(AB)=P(B)=0.4，()0.4(|)0.5.()0.8P ABP B AP A 例例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为别为20%和和18%，两地
9、同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12%，求：，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.解解 设设A=甲市是雨天甲市是雨天，B=乙市是雨天乙市是雨天，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，则则()0.12(|)0.67,()0.18P ABP A BP B()0.12(|)0.60,()0.2P ABP B AP A 例例 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 ,旧乒乓球，各有红、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得白两色，
10、分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红红白白新新4030旧旧2010设设 A=“从盒中随机取到一只红球从盒中随机取到一只红球”60An40ABn32)|(AABnnABP B=“从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球”解解:或或10060)(AP10040)(ABP)()()|(APABPABP326.04.0定理定理1.3.1 乘法公式乘法公式若若(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)推广推广 若若P(A1 A2 An-1)0，则，则 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1
11、A2)P(An A1 A2 An-1).若若(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式还可推广到三个事件的情形：乘法公式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).上面两式都称为上面两式都称为乘法公式乘法公式，利用它们可以计算两，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率个事件同时发生的概率.例例 一袋中装有一袋中装有10个球，其中个球，其中3个黑球，个黑球，7个白球，个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；概率；(2)已知第二次取
12、得黑球时，求第一次取得黑球的已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。概率。解解 设设 Ai=“第第 i 次取到的是黑球次取到的是黑球”(i=1,2)92)|()1(12AAP(2)由于由于151)(2102321AAAAP)()()(21212AAPAAPAP9210393107103 例例 一袋中装有一袋中装有10个球，其中个球，其中3个黑球，个黑球，7个白球，个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；概率；(2)已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的已知第二次取
13、得黑球时，求第一次取得黑球的概率。概率。解解 设设 Ai=“第第 i 次取到的是黑球次取到的是黑球”(i=1,2)92)()()|(22121APAAPAAP所以所以(2)由于由于151)(2102321AAAAP)()()(21212AAPAAPAP9210393107103 例例 一袋中装有一袋中装有a只白球，只白球，b只黑球，每次任取一球，只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率 解解 设设A=三次取出的均为黑球三次取出的均为黑球，A
14、i=第第i次取出次取出的是黑球的是黑球，i=1,2,3，则有，则有 A=A1 A2 A3由题意得由题意得121(),(|),bbcP AP AAababc故故 cbacbcbacbbabAP22)(3122(|),2bcP AA Aabc123().P A A A 该摸球模型称为卜里耶（该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概率）模型上述概率显然满足不等式显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行
15、时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型传染病传播或地震发生的数学模型 引例：引例：设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白个白球，球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒球放入乙盒，再从乙盒任取任取2球，求从乙盒取出球，求从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率 解解
16、设设A1从甲盒取出从甲盒取出2个红球个红球;A2 从甲盒取出从甲盒取出2个白球个白球;A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球;B=从乙盒取从乙盒取出出2个红球个红球;则则 A1,A2,A3 两两互斥两两互斥,且且A1A2A3 ,所以所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B,P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 引例：引例：设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白个白球，球，1
17、个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒球放入乙盒，再从乙盒任取任取2球，求从乙盒取出球，求从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率 解解 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B,P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)22112233322222222257575703.70CCC CCCCCCCCC思考：这种解法是否可一般化？思考：这种解法是否可一般化？1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 定义定义1.3.2 设事件设事件1,2,n为为样本
18、空间样本空间 的一组事件。的一组事件。如果如果(1)Ai Aj=（ij）;则称则称1，2，n为样本空间为样本空间 的一个的一个划分划分。1.完备事件组（样本空间的一个划分）完备事件组（样本空间的一个划分）niiA1(2)A1A2A3An 例如上例中的例如上例中的 1从甲盒取出从甲盒取出 2 个白球，个白球，2从甲盒取出从甲盒取出 2 个红球，个红球，3从甲盒取出从甲盒取出 1 个白球个白球 1 个红球，个红球，就构成了一个完备事件组。就构成了一个完备事件组。2.全概率公式全概率公式 定理定理 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为，设事件，设事件A1,A2,An为样本空间为样本空间的一个划分，
19、且的一个划分，且 P(Ai)0(i=1,2,n).则对任意事件则对任意事件B，有，有1()()(|).niiiP BP A P B AA1A2A3AnB121()(),niniBBA BABA BA B 111()()()()(|).nnniiiiiiiP BPABP ABP A P B A证明证明 因为因为Ai Aj=(ij)按概率的可加性及乘法公式有按概率的可加性及乘法公式有,().ijABA Bij 1,niiA 例例 设袋中有设袋中有12个球个球,9个新球个新球,3个旧球个旧球.第一次比第一次比赛取赛取3球球,比赛后放回比赛后放回,第二次比赛再任取第二次比赛再任取3球球,求第二次求第二
20、次比赛取得比赛取得3个新球的概率个新球的概率.3.全概率公式的应用全概率公式的应用 如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种可的基础上也有若干种可能的结果，如果求和能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完的几种可能的结果就构成了完备事件组。备事件组。解解 Ai=第一次比赛恰取出第一次比赛恰取出i个新球（个新球（i=0,1,2,3)；B=求第二次比赛取得求第二次比赛取得3个新球个新球显然显然
21、A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，由全概率公式构成一个完备事件组，由全概率公式得：得：例例 设袋中有设袋中有12个球个球,9个新球个新球,3个旧球个旧球.第一次比第一次比赛取赛取3球球,比赛后放回比赛后放回,第二次比赛再任取第二次比赛再任取3球球,求第二次求第二次比赛取得比赛取得3个新球的概率个新球的概率.3.全概率公式的应用全概率公式的应用 如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种可的基础上也有若干种可能的结果，如果求和能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以的结
22、果有关事件的概率，可以用全概率公式试验用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完的几种可能的结果就构成了完备事件组。备事件组。解解30)|()()(iiiABPAPBP33123213333993893796333333331212121212121212.CCC CCC C CCCCCCCCCCC 例例1 播种用的一等小麦种子中混有播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，的二等种子，1.5%的三等种子，的三等种子，1%的四等种子，的四等种子，用一等、二等、三用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含等、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0
23、.1，0.05，求这批种子所结的穗含有，求这批种子所结的穗含有50颗以颗以上麦粒的概率。上麦粒的概率。解解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为四等种子的事件分别为B1，B2，B3，B4，则它们构成样，则它们构成样本空间的一个划分，本空间的一个划分，用用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 41()()(|)iiiP AP B P A B 95.5%0.52%0.15 1.5%0.1 1%0.050
24、.4825.练习练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率；求他迟到的概率 解解 设设A1他乘火车来，他乘火车来，A2他乘船来，他乘船来，A3他乘他乘汽车来，汽车来，A4他乘飞机来，他乘飞机来，B它迟到。它迟到。易见：易见：A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组，由全概构成一个完备事件组，由全概率公式得率公式得41)|()()(iiiABPAPBP=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。练习练习
25、2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为率为0.04，第二台的废品率为，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解解 令令B=取到的零件为合格品，取到的零件为合格品，Ai=零件为第零件为第i台机台机床的产品床的产品,i=1,2.此时此时,全部的零件构成样本空间全部的零件构成样本空间，A1,A2构成构成的一个划分。由全概率公式得的一个划分。由全概率公式得:)|()()|
26、()()(2211ABPAPABPAPBP210.960.930.95.33乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发生几个事件同时发生”的概率；的概率；全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率；贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最后结果”，求，求“原因原因”的概率的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式 1.引例引例 设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白球，个白球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率;(2)已知从乙盒
27、取出已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。红球的概率。解解 (1)设设A1=从甲盒取出从甲盒取出2个红球，个红球，A2=从甲盒取出从甲盒取出2个白球；个白球；A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙盒从乙盒取出取出2个红球；个红球；则则A1,A2,A3 两两互斥，且两两互斥，且A1+A2+A3=,所以所以 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)1.引例引例 设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白球，个白球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入
28、乙盒，再从球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率;(2)已知从乙盒取出已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。红球的概率。解解 (1)设设A1=从甲盒取出从甲盒取出2个红球，个红球，A2=从甲盒取出从甲盒取出2个白球；个白球；A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙盒从乙盒取出取出2个红球；个红球；(2)P(A1|B)31111)|()()|()()()(iiiABPAPABPAPBPBAP1/701.3/7031.贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设A1，A2，An为样本
29、空间为样本空间的一个划分，的一个划分，且且 P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件），则对于任何一事件B(P(B)0),有有事实上，由条件概率的定义及全概率公式事实上，由条件概率的定义及全概率公式()()(|)(|),()()jjjjP ABP A P B AP ABP BP B1()()(|).niiiP BP A P B A1.贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设A1，A2，An为样本空间为样本空间的一个划分，的一个划分，且且 P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件），则对于任何一事件B(P(B)0),有有于是于是1()(|)(|)(1,2,)()(|)jjjniiiP
30、 A P B AP ABjnP A P B A 事实上，由条件概率的定义及全概率公式事实上，由条件概率的定义及全概率公式2.贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用 (1)如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件发生了，的结果有关某事件发生了，求和试验求和试验E1的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式试验式试验E1的几种可能的结果就构成了完备事件组。的几种可能的结果就构成了
31、完备事件组。(2)如果把样本空间的一个划分如果把样本空间的一个划分A1,A2,An看看作是导致事件作是导致事件B发生的各种原因，如果发生的各种原因，如果B发生了，求发生了，求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。可以用贝叶斯公式。例例1 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率，若第一次及格则第二次及格的概率也为也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。率。解解 记记Ai=该
32、学生第该学生第i次考试及格次考试及格，i=1,2显然为样显然为样本空间的一个划分，且已知本空间的一个划分，且已知 12121(),(|),(|).2pP Ap P AApP AA于是，由全概率公式得于是，由全概率公式得 21211211()()(|)()(|)(1),2P AP A P AAP A P AApP由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 121122()(|)2(|).()1P A P AApP AAP Ap 例例2 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，
33、其合格率为其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。器调整得良好的概率。解解 设设 A1=机器调整良好机器调整良好,A2=机器调整不好机器调整不好,B=产品合格，已知产品合格，已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.3需要求需要求的概率为的概率为P(A1|B)。由贝叶斯公式。由贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(2211111ABPAPABPAPABPAPBAP 例例2 对以往数
34、据分析的结果表明，当机器调整得良对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，其合格率为其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。器调整得良好的概率。解解)|()()|()()|()()|(2211111ABPAPABPAPABPAPBAP0.75 0.90.9.0.75 0.9 0.25 0.3P(A1),P(A2)通常称为通常称为验前概率验前概率。
35、P(A1|B),P(A2|B)通常称为通常称为 验后概率验后概率。例例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为阳性，问他确实患现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？病的概率是多少？()0.004,()0.996,(|)0.97,(|)0.95,P AP AP B AP B A(|)1(|)0.05,P B AP B A 得到得到由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得()
36、(|)(|)()(|)()(|)0.004 0.97 0.072.0.004 0.970.996 0.05P A P B AP A BP A P B AP A P B A 解解 记记B为检验结果是阳性，则为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性，为检验结果是阴性，A表示患表示患有该病，则有该病，则 为未患该病由题意为未患该病由题意 BA 例例数字通讯过程中，信源发出数字通讯过程中，信源发出0、1两种状态信号，其中两种状态信号，其中发发0的信号概率为的信号概率为0.55，发，发1的信号概率为的信号概率为0.45。由于信道中存。由于信道中存在干扰，在发在干扰，在发0的信号时候，接收端分别以概率的信号
37、时候，接收端分别以概率0.9、0.05和和0.05接收为接收为0、1和和“不清不清”。在发。在发1的信号时候，接收端分别的信号时候，接收端分别以概率以概率0.85、0.05和和0.1接收为接收为1、0和和“不清不清”。现接收端接。现接收端接收到一个收到一个“1”的信号。问发端发的是的信号。问发端发的是0的概率是多少的概率是多少?解解：设：设A=“发射端发出发射端发出0”，B=“接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的信的信号号”45.085.055.005.055.005.0 0 1 0 1 不不清清0(0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)1 0 1 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 067.0)()|()(BPABPAP
