1、2 21 1二重积分二重积分回忆定积分.设一元函数 y=f(x)在a,b可积.niiibaxfxxf10)(limd)(则.d)(,0)(面积在几何上表示曲边梯形时当baxxfxf如图0 xyabxixi+1 iy=f(x)f(i)其中 ixi,xi+1,xi=xi+1 xi,表小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表示小矩形的面积.设有一立体.其底面是 xy 面上的区域D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面.则平顶柱体的体积=底面积高.0yzxz=f(x,y)D如图 一、例一、例(i)用曲线将D分成 n 个
2、小区域 D1,D2,Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记 i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i 小曲顶柱体体积 f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶柱体的体积niiiifV1),(分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是niiiifV1),(lim(iv),max 1的直径记iniD其中Di的直径是指Di中
3、相距最远的两点的距离.,),(lim 10niiiifV则其中 (i,i)Di,i=Di 的面积.xyDi如图(1)平面薄板的质量 M.当平面薄板的质量是均匀分布时,有,平面薄板的质量=面密度面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M?用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,设一平面薄板,所占区域为D,面密度(x,y)0 连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.(i)如图0 xyDDiDi的面积记作 i.0 xyDDi由于(x,y)0 连续,从而当Di很小时,(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作(x,y)在Di上是不变的.从而可
4、用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(i,i)Di,以(i,i)作为Di 这一小片薄板的面密度.从而,第 i 片薄板的质量 mi (i,i)i(iii)故,平面薄板的质量niiiiM1),(iv),max 1的直径若记iniD.),(lim 10niiiiM则1.1.定义定义 设z=f(x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,n),其面积记为 i.(i,i)Di,作积f(i,i)i,.max1的直径记iniD,),(1niiiif作和 二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意
5、的取法,当 0时,和式niiiif1),(的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)R(D),并称此极限值 I 为f(x,y)在D上的二重积分.记作Ddyxf,),(即niiiiDfdyxf10),(lim),(其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d称为面积元素,x,y称为积分变量.和式.),(1称为积分和niiiif注注1.定积分niiibaxfdxxf10)(lim)(二重积分niiiiDfdyxf10),(lim),(区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f(x)在数轴上点 i 处的函数值 f(i)换成二
6、元函数 f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值 f(i,i).可见,二重积分是定积分的推广.注注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积i=xi yi,故也将二重积分写成Ddxdyyxf),(注注3.可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上可积,若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.|,|的面积为区域其中DDDdD性质2.DDDdyxgyxfdyxgyxf),(),(),(),(性质3.DDdyxfkdyxkfk),(),
7、(,则为常数设性质4.则无公共内点且设,2121DDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf若在D上有f(x,y)g(x,y),则DDdyxgdyxf),(),(特别:(i)若在D上f(x,y)0,则0),(Ddyxf(ii)DDdyxfdyxf|),(|),(这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.若在D上 m f(x,y)M,则|),(DMdyxfDmD设 f(x,y)C(D),则(,)D,使得|),(),(DfdyxfD性质6.性质7.(i)当z=f(x,y)0时,.),(曲顶柱体的体积Ddyxf(ii)当z=f(x,y)0时,)(),(
8、曲顶柱体的体积Ddyxf(iii)则上在上在无公共内点且若,0),(,0),(,212121yxfDyxfDDDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积).),(,的代数和表示各小曲顶柱体体积一般Ddyxf由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,VdyxfD曲顶柱体的体积),(如图若点x处截面面积为A(x),则体积.)(badxxAVxy0axA(x)三、二重积分的计算三、二重积分的计算.,0),(,),(连续其中考虑yxfzdyxfD(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b及两条曲线 y=y1(x),y=y2(
9、x)围成.如图即,D:y1(x)y y2(x),a x b称为x型区域.特别情形是A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,),(),(为顶表示以yxfzdyxfD以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f (x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,)()(000201,),()(xyxydyyxfxA)()(21.),()(,xyxydyyxfxA一般zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f (x,y)z=f (x0,y)x0ab从而,baxyxybadx
10、dyyxfdxxAV,),()()()(21故 baxyxyDdxdyyxfdyxf),(),()()(21右端称为先对 y,再对 x 的二次积分(累次积分).计算原则计算原则:由里到外.即先将x 看作常数,以y 为积分变量,求里层积分.得到的结果是只含x,不含 y 的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注注1.公式 baxyxyDdxdyyxfdyxf),(),()()(21虽是在条件 f(x,y)0下得到的,但对一般的 f(x,y)都成立,只须D是x型区域即可.注注2.习惯上常将右端的二次积分记作baxyxydyyxfdx)()(21),(即baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(
11、21),(),(baxyxydxdyyxf),()()(21(2)类似,若D:x1(y)x x2(y),c y d,称为 y 型区域,则二重积分可化为先对 x,再对 y 的二次积分.即 dcyxyxdydxyxf)()(21),(xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)DDdyxf),(dcyxyxdxyxfdy)()(21),(3)若D既是 x型区域,又是 y型区域.比如x0yx0yx0y则既可先对 x 积分,又可先对 y 积分.等等,dcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(Ddyxf),(当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好
12、算.此时,(4)若D的形状较复杂,既不是 x型区域,也不是 y型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块,使每一块或为x型,或为 y型,分块积.如图321),(),(),(),(DDDDdyxfdyxfdyxfdyxf(5)设D:y1(x)y y2(x),a x b,为 x 型区域.其中y2(x)为分段函数.如图则baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(由于y2(x)是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式.故应将D分成D1,D2,分块积分.xy0D1D2y=1(x)y=2(x)ab(6)不论是先对 x 积分dcyxyxD
13、dxyxfdydyxf)()(21),(),(baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(还是先对 y 积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限上限 下限下限.称为从里到外、线从里到外、线线线;点点点点.例例1.1.,)(2围成和由其中求xyxyDdyxDxy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解解:先画区域D的图形.法1.先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是0,1.因此,外层积分下限为0,上限为1.即102)()(
14、xxDdyyxdxdyxdxyxyxx210221dxxxx104322123203101416310543xxxxy0y=xy=x211法法2.先对 x 积分.作与 x 轴同向射线,从左至右穿过D.y则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即.的yx 故里层对 x 积分的下限为y,上限为.y而该射线的变化范围是0,1.故外层对 y 的积分下限为0,上限为1.10)()(yyDdxyxdydxdyyx10221dyyxxyy102232321dyyyy203635241103252yyy例例2.2.0,2,2第一象限的区域围成的和由其中求yxyxyDxydxdyD解解:先画D的图形.先
15、对 x 积分.作与 x 轴同向的射线穿过D.易知,x 从左方曲线y=x2即变到yx 102yyDxydxdyxydxdy右方曲线 y=x+2即 x=2 y.而 y0,1.xy0y=x+2y=x2112故所以,原式=102yyxydxdy102221dyxyyy102)2(21dyyyy247问问,若先对若先对 y 积分积分,情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x2112例例3.3.求.sin110ydxxxdy解：解：由于1sinydxxx是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0,y=1.如
16、图：故 原式=Ddxdyxxsinxdyxxdx010sin10sinxdxxx10sindxx1cos1cos10 xyx0Dy=x由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。例例4.4.改换.),(2140的积分顺序xxdyyxfdx解：解：写出D的表达式，.40,21:xxyxD画 D 的图形改为先对x再对y的积分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),(yx0Dxy21xy 24例例5.5.关于分块函数在D上的积分.Ddxy|求其中D：0 x 1,0 y 1解：解：积分区域如图记
17、 f(x,y)=|y x|=yx,当y x时,xy,当y x时,且区域D1:y x和D2:y x分处在直线y=x的上，下方.故，原式=21)()(DDdyxdxyyx011DD2y=xD1xxdyyxdxdyxydx010110)()(10021012)21()21(dxyxydxxyyxx10210221)2121(dxxdxxx31注：注：分块函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y=xD1D在将二重积分化为二次积分的公式,),(),()()(21中xyxybaDdyyxfdxdyxf右边的二次积分不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐.
18、但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。例例6.6.设D：a x b,c y d.f(x,y)=f1(x)f2(y)可积，则.)()(),(21dcbaDdyyfdxxfdyxfyx0dcabDdyxf),(:证Ddxdyyfxf)()(21dcbadyyfxfdx)()(21badcdxdyyfxf)()(21.)()(12badcdxxfdyyf比如，.32103210dyexdxdyxedxyy.sin2sin101020rdrrrdrrd只须要求里层积分dcdyyf)(2的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可。关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(
19、x,y)=f(x,y),其中点(x,y)与(x,y)关于x轴对称，即函数也关于x轴对称.yx0D2D11),(2),(DDdyxfdyxf则(ii)若f(x,y)=f(x,y),0),(Ddyxf则(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1(i)若f(x,y)=f(x,y).其中(x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.1),(2),(DDdyxfdyxf则(ii)f(x,y)=f(x,y)，则0),(Ddyxf(3)一般，若D关于平面上某直线l对称.yx0D2y=xD1对(x,y)D1，有关于l的对称点(x1,y1)D2.),(2),(1DDdyxfdyxf则若f(x,y)=f(x1,y1
20、)，则.0),(Ddyxf若f(x,y)=f(x1,y1).例例7.7.(1).0cos.1:22DydxyxD则,10,10:)2(对称关于知设xyDyxD).,(),(0000 xyxyyx的对称点为的关于直线点,),(nnyxyxf易知).,(),(yxfxyxyfnn.0)(Dnndyx从而yx0(x0,y0)(y0,x0)y=xy0 x0考虑Ddxdyyxf,),(若作变量代换x=g(u,v),y=(u,v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理定理1.设变换x=g(u,v),y=(u,v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f(x,y
21、)可积，则.),(),(),(),(),(*dudvvuyxvuvugfdxdyyxfDD(1)x=g(u,v),y=(u,v)C1(D*)0),(),()2(vuvuyyxxvuyx变换 x=rcos,y=rsin 称为极坐标变换.其中 0 r 0).解：解：D 如图,由于D关于x轴，y 轴都对称，0 xyx2+y2=a2aD1Dr=a),(),(),(22yxfyxfeyxfyx且即f(x,y)也关于x轴，y轴对称.故122224DyxDyxdxdtedxdye20,0:1arD且0202122rdreddxdyerDyxararerde002)(4)(21222)1(42ae从而，原式)
22、1(2ae注：注：本题若用直角函标计算，会遇到,2dxex而这个积分是“积不出”的。例例10.计算广义积分02dxex解：解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用通常方法无法算出.由广义积分定义RxRxdxedxe0022lim2020)(lim)(22RxRxdxedxeRxRxRxdxedxedxe0020222)(RyRxdyedxe0022RyxRdyedx0022Syxdxdye22其中S:0 y R,0 x R下用“夹逼定理”求20)(lim2RxRdxe作D1：x2+y2 R2 0,)2(:2222yxRyxD0 xyx2+y2=R2R222)2(RyxRDyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye2222122)1(41)1(4122222RSyxRedxdyee令R+，上式两端的极限均为,4故.2020)(lim)(22RxRxdxedxe4lim22SyxRdxdye202dxex故
