1、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【学习目标】1通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。2利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。【学习重难点】1结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点)2会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点)【学习过程】一、初试身手1下列函数中，增长速度最快的是( )Ay2x By3xCy5x Dy10x2若x(1，2)，则下列结论正确的是( )A2xxlg x B2xlg xxCx2xlg x Dxlg x2x3如图所示曲线反映的是_函数模型的增长
2、趋势。4当x4时，a4x，blog4x，cx4的大小关系是_。【答案】1D四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y10x的增长速度最快。2A3对数4答案 acb二、合作探究指数、对数、幂函数增长趋势的比较【例1】 函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示。设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)。1x12，9x210.x18x22 016从图像上知，当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数。f(2 016)g(2 016)g(8)f(8)。建立函数模
3、型解决实际问题【例2】 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？思路探究 首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题。解 设第x天所得回报是y元。由题意，方案一：y40(xN)；方案二：y10x(xN)；方案三：y0.42x1(xN)。作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，
4、第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三。 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表。投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三。【学习小结】指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：(1)三种函数的增长趋势当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。当x0，n1时，幂函数yxn也是增函数，并且当x1时，n越大，其函数值的增长
5、就越快。(2)三种函数的增长对比对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax。【精炼反馈】1思考辨析(1)yx10比y11x的增长速度更快些。( )(2)对于任意的x0，都有2xlog2x。( )(3)对于任意的x，都有2xx2( )2三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 633y25292452 18919 685177 149y356.16.616.957.207.40其中关于x呈对数型函数变化的变量是_，呈指数型函数变化的
6、变量是_，呈幂函数型函数变化的变量是_。3某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq。能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_。4用模型f(x)axb来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y11(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y22(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y32(亿元)。又定义：当f(x)使
7、f(1)y12f(2)y22f(3)y32的数值最小时为最佳模型。(1)当b时，求相应的a使f(x)axb成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值。【答案】1(1)(2)(3)2y3 y2 y1由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化。3，x28x17均单调，先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为，由f(1)10，f(3)2，得，解得p8，q17，所以，f(x)x28x174解 (1)b时 ，f(1)y12f(2)y22f(3)y32142，a时，f(x)x为最佳模型。(2)f(x)，则y4f(4)。
