1、函数的奇偶性【教材分析】函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。【教学目标与核心素养】1知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。2核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转
2、化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。【教学重难点】1函数奇偶性的概念、图象特征和性质；2根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；3用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。思考讨论：（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等例1画出函数fx=x3的图象，并观察它的对
3、称性解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？提示：对于定义域中任一个自变量的取值x0，都有函数值f-x0=-f（x0）二、新知识一般地，设函数y=fx定义域为A如果当xA时,有-xA，且f-x=-f（x），那么就称函数y=fx为奇函数；如果当xA时,有-xA，且f-x=f（x），那么就称函数y=fx为偶函数。如：函数fx=x2、fx=2x等等注意：当函数y=fx是奇函数或偶函数时，称函数fx具有奇偶性。奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；偶函数图象关于y轴对称,反之亦然。函数具有奇偶性的前提是：定义域关于
4、原点对称；若奇函数y=fx是在x=0处有定义，则有f0=0；如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间0,+）上的性质，然后利用对称性可得在y轴另一侧函数的性质例2根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）fx=-2x5；（2）gx=x4+2；（3）hx=1x2；（4）mx=1x+2解：（1）函数fx=-2x5定义域为R，对任意xR，有f-x=-2-x5=2x5，-fx=2x5得f-x=-fx，所以函数为奇函数（2）函数gx=x4+2定义域为R，对任意xR，有g-x=-x4+2=x4+2，得g-x=gx，所以函数为偶函数（3）函数hx=1x2定义域为x|x0，对任意x
5、x|x0，有h-x=1（-x）2=1x2，得h-x=hx，所以函数为偶函数（4）函数mx=1x+2定义域为x|x-2，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数思考讨论（综合练习）（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：fx=1-x2+x2-1fx=x2+x x0-x2+x x0fx=1-x2x+2-2fx=x2+1+x-1x2+1+x+1（2）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=-x2+2x+1求函数fx的解析式；若函数在-1,a-2上单调递增，求实数a的取值范围提示：（1）函数有意义，则1-x20x2-10，即定义域为-1,1，有fx=0，此时既有f-x=-fx，
6、又有f-x=fx所以函数既是奇函数又是偶函数函数定义域为R，f0=0若x0，则-x0，有f-x=（-x）2+-x=x2-x，-fx=x2-x，有f-x=-fx若x0，有f-x=-x2+-x=-x2-x，-fx=-x2-x，仍有f-x=-fx所以函数为奇函数函数有意义，则1-x20x+2-20，即定义域为-1,0）（0,1，函数即为fx=1-x2x易得f-x=-fx所以函数为奇函数函数定义域为R，对任意xR，有 即f-x=-fx所以函数为奇函数（2）函数fx是定义在R上的奇函数，设x0f-x=-（-x）2+2-x+1=-x2-2x+1又函数为奇函数，f-x=-fx，上式即为-fx=-x2-2x+
7、1得fx=x2+2x-1所以函数fx=-x2+2x+1x00x=0x2+2x-1x-1a-21，解得1a3所以实数a的取值范围为1a3注意：奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出f-x与fx的关系，可以通过验证f-x+fx=0或f-x-fx=0来判断函数的奇偶性；奇函数如果在x=0处有定义，必有f0=0；函数fx在定义域内，如果满足fa+x=f（a-x），则函数图象关于直线x=a对称；如果满足fa+x=f（b-x），则函数图象关于直线x=a+b2对称三、课堂练习教材P66，练习1、2、3四、课后作业教材P67，习题2-4：A组第1、2、3题【教学反思】分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑y轴一侧的情况，从而事半而功倍。
