1、,30.5 二次函数与一元二次方程的关系,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优九年级数学下(JJ) 教学课件,第三十章 二次函数,学习目标,1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点) 2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解. (重点) 3.了解用图像法求一元二次方程的近似根.,(1)一次函数yx2的图象与x轴的交点为( , ), 一元一次方程x20的根为_. (2)一次函数y3x6的图象与x轴的交点为( , ), 一元一次方程3x60的根为_. 问题一次函数ykxb的图象与x轴的交点与一元一次 方程kxb0的根有什么关系? 一次函数ykxb的图象与x轴的交点的
2、横坐标就是一 元一次方程kxb0的根.,导入新课,复习引入,2 0,2,2 0,2,那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢,接下来我们一起探讨.,讲授新课,合作探究,问题1:画出二次函数 的图象,你能从图象中看出它与x轴的交点吗?,(-1,0)与(3,0),(-1,0),(3,0),问题2:二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又怎样的关系?,当x=-1时,y=0,即x2-2x-3=0,也就是说,x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根; 同理,当x=3时,y=0,即x2-2x-3=0,也就是说,x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根;,知识要点,一般地,如
3、果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.,观察图象,完成下表:,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,0,x2-6x+9=0,x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1,知识要点,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系,例1:已知关于x的二次函数ymx2(
4、m2)x2(m0) (1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值,(1)证明:m0, (m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20, 0, 此抛物线与x轴总有两个交点;,(2)解:令y0,则(x1)(mx2)0, 所以 x10或mx20, 解得 x11,x2 . 当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1或2.,例1:已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它
5、们的横坐标都是整数,求正整数m的值,变式:已知:抛物线yx2axa2. (1)求证:不论a取何值时,抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点; (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的平方和为3,求a的值,(1)证明:a24(a2)(a2)240, 不论a取何值时,抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点; (2)解:x1x2a,x1x2a2, x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43, a1.,例2:求一元二次方程 的根的近似值(精确到0.1).,分析:一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴
6、的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫作图象法.,解:画出函数 y=x-2x-1 的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:,观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.
7、4. 同理可得另一近似值为x22.4.,一元二次方程的图象解法,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象;,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标;,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,例3:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,则一元二次方程ax2bxc0的近似根为
8、( ) Ax12.1,x20.1 Bx12.5,x20.5 Cx12.9,x20.9 Dx13,x21,解析:由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x1,而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5,x20.5;又对称轴为x1,则 1,x12(1)0.52.5.故x12.5,x20.5.故选B.,B,解答本题首先需要根据图象估计出一个根,再根据对称性计算出另一个根,估计值的精确程度,直接关系到计算的准确性,故估计尽量要准确,利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).,y = x22x2,解:作y=x2-2x-2的图象(如右图所示),它与x轴的公共点的横坐标大约是
9、-0.7,2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1-0.7,x22.7.,练一练,一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m(m是实数)图象交点的横坐标 .,既可以用求根公式求二次方程的根,也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.,判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26,C,1.根据下列表格的对应值:,当堂练习,2若二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示,且关于x的一元二
10、次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= ;,-1,3.一元二次方程 3 x2+x10=0的两个根是x1=2 ,x2= ,那么二次函数 y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2,0) ( ,0),4.若一元二次方程 无实根, 则抛物线 的图象位于( ) A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,5.已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点,求k的取值范围,解:当k3时,函数y2x1是一次函数 一次函数y2x1与x轴有一个交点, k3; 当k3时,y(k3)x22x1是二次函数 二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点
11、, b24ac0. b24ac224(k3)4k16, 4k160.k4且k3. 综上所述,k的取值范围是k4.,能力提升,已知二次函数 的图象,利用图象回答问题: (1)方程 的解是什么? (2)x取什么值时,y0 ? (3)x取什么值时,y0 ?,解:(1)x1=2,x2=4;,(2)x4;,(3)2x4.,课堂小结,二次函数与一元二次方程,二次函数与一元二次方程的关系,y=ax2+bx+c(a 0)当y取定值时就成了一元二次方程;ax2+bx+c=0(a 0),右边换成y时就成了二次函数.,二次函数与一元二次方程根的情况,二次函数与x轴的交点个数,判别式 的符号,一元二次方程根的情况,见学练优本课时练习,课后作业,