1、4.1 导数的概念导数的概念及及其运算其运算2023 年高考数学年高考数学一一轮复习（新高考地区轮复习（新高考地区专专用用）一、单选题一、单选题1已知抛物线：=2，则使得 经过点(1，1)，和抛物线在处的切线斜率相等，且 和坐标轴相切的点有（）A1 个B2 个C3 个D4 个2曲线 =2 在 =1 处的切线的倾斜角为 ，则 2 的值为（）A4B4C3D355553曲线=3+2+在点(1，0)处的切线与直线2=0垂直，则的值为（A-1B0C1D2）54已知函数()=cos2，(0，）在=0处的切线斜率为8，则sin0cos0=（）A3B355C3 55D3 5515实数1，2，1，2满足：2ln
2、11=0，224=0，则(12)2+(12)2的最小值为（）A0B2 2C4 2D826已知函数()=+在(0，+)上有两个零点，则 m 的取值范围是（）00A(0，)B(0，2)C(，+)D(2，+)7若存在 lim(0+，0)(0，0)，则称 lim(0+，0)(0，0)为二元函数=(0，)在点(，0)处对的偏导数，记为(0 0，)；若存在0lim00(，+)(0，0)，则称(，lim00 0+)(0，0)为二元函数=(，)在点(0，0)处对的偏导数，记为(0，0)，已知二元函数(，)=22+3(0，0)，则下列选项中错误的是（）A(1，3)=4B(1，3)=10C(，)+(，)的最小值为
3、13D(，)的最小值为 4 278定义满足方程()+()=1的解0叫做函数()的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）A()=23B()=+1C()=lnD()=sin+39若直线=1+1与直线=2+2(1 2)是曲线=ln的两条切线，也是曲线=e的两 条切线，则12+1+2的值为（）Ae1B0C-1D1e110过平面内一点作曲线=|两条互相垂直的切线1、2，切点为1、2（1、2不重合），设直线1、2分别与轴交于点、，则下列结论正确的个数是（）1、2两点的横坐标之积为定值；直线12的斜率为定值；线段的长度为定值；三角形面积的取值范围为(0，1A1B2C3D4211已知函数()=2cos
4、(+)1(0，0 )，在=0处的切线斜率为 3，若()在(0，)上只有一个零点0，则的最大值为（）A4B1C232D13612已知函数()是定义在 R 上的奇函数，且()=23+32(1)，则函数()的图象在点(2，(2)处的切线的斜率为（）A-21B-27C-24D-2513若曲线=ln+2+1在点（1，2）处的切线与直线+1=0平行，则实数 a 的值为（）A4B3C4D314曲线=6在点(1，0)处的切线方程为（）A=44B=55C=66D=7715一个质点作直线运动，其位移 s（单位：米）与时间 t（单位：秒）满足关系式=2(43)3，则当=1时，该质点的瞬时速度为（）A5 米/秒B8
5、米/秒C14 米/秒D16 米/秒216若点 P 是曲线=32ln上任意一点，则点 P 到直线=3的距离的最小值为（）2A7 24B3 32C 2D 5217设函数()在上存在导函数()，()的图象在点(1，(1)处的切线方程为=1+2，那么(1)+(1)=（）A1二、多选题二、多选题B2C3D418吹气球时，记气球的半径 r 与体积 V 之间的函数关系为 r（V），()为 r（V）的导函数已知r（V）在0 3上的图象如图所示，若0 1 2 3，则下列结论正确的是（）A(1)(0)(2)C(1+22)(1)+(2)2D存在0 (1，2)，使得(0)=(2)(1)2119已知0，0，直线=+与曲
6、线=12+1相切，则下列不等式成立的是（）A 1B2+1 8C +628三、填空题三、填空题20函数()=cosD3+3 的图象在=0处切线的倾斜角为21已知函数()=(0)2，则(0)=.22已知()=1（为自然对数的底数），()=ln+1，请写出()与()的一条公切线的方 程23已知函数()=3+2，写出一个同时满足下列两个条件的()：.在1，+)上单调递减；曲线=()(1)存在斜率 为-1 的切线.24.某地在 20 年间经济高质量增长，GDP 的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为()=0(1+10%)，其中0为=0时的值.假定0=2，那么在=10时，GDP 增长的速度大约
7、是.（单位：亿元/年，精确到 0.01 亿元/年）注：1.110 2.59，当取很小的正数时，ln(1+)25.已知直线 l 是曲线=1与=ln+1的公共切线，则 l 的方程为.26已知函数()=ln+，则()在=1处切线斜率为27若曲线=(3)(2)(1)(+1)(+2)+4ln(3+1)在点(1，8ln2)处的切线与直线2+ln32=2平行，则=.28过点(1，0)引曲线：=23+的两条切线，这两条切线与轴分别交于，两点，若|=|，则=229已知倾斜角为45的直线与曲线=+1相切，则直线的方程是.30已知函数()=（e 为自然对数的底数），过点(0，)作曲线()的切线有且只有两条，则实数=
8、.31已知函数()=3(1)22，则(2)=32若曲线()=(0)在点(1，(1)处的切线斜率为 2，则=1四、解答题四、解答题233定义在(，+)上的函数()=().（1）当=时，求曲线=()在点(，0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；66（2）将()的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若(1)+(2)=0，求的值.34已知函数()=1+cos+sin22（1）当=1时，求曲线=()在点(0，(0)处的切线方程；（2）若函数()在03上单调递减，求 a 的取值范围，435已知函数()=e+(0)当 m1 时，曲线=()在点(0，(0)处的切线与直线 x y10 垂直（1）若(
9、)的最小值是 1，求 m 的值；（2）若(1，(1)，(2(2)(1 238已知函数()=21（1）若曲线=()在点(2，(2)处的切线斜率为1，求的值；（2）若()在(1，+)上有最大值，求的取值范围.39已知函数()=(2+1)ln+（1）若=1，求曲线=()在=1处的切线方程；（2）若()0在（1，+）上恒成立，求 a 的值.答案解析部答案解析部分分1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】A13.【答案】B14.【答案】B15.【答案】C16.【答案】A17
10、.【答案】C18.【答案】B,D19.【答案】A,C2 0【答案】3421【答案】-222【答案】y=rx-1 或 y=x2 3【答案】()=3+2（答案不唯一）24.【答案】0.5225.【答案】y=ex-1 或 y=x26.【答案】22 7【答案】232 8【答案】27429【答案】x-y-2+ln2=03 0【答案】4231.【答案】232.【答案】-23 3 【答案】（1）解：当=6时，()=(6)，()=+(6)，故(6)=6=1.2曲线=()在点，0)处的切线的斜率为=)=(6(612，266()，曲线=()在点(，0)处的切线方程为=1令=0，=.所以切线与轴的交点(0，).12
11、121262144此时所求三角形的面积为1|=2.（2）解：()=+()当 时，()=(+).222，2由函数=+在区间()上递增，且值域为，02，2故存在唯一 ()，使得+00=.此时当2 0时，()0，()单调递减；当0 0，()单调递增，因此1=0.02同理，存在唯一 (，3200)，使得+=.此时当20 0，()单调递增；0当 32时，()0，()单调递减，因此 20=.由(1)=0，1=11，()=2 111=11.2同理：()=2 222=12.12 1由(1)+(2)=0，整理得：(1+2)(1)=0.2212212122又 3，故 1，则有=()2221212由 ，故=或=()
12、.又=1+1=2+2，当1=2时，不满足，舍去.所以=()，即+1212=，则=1+1+2+2=.222综上所述，=.23 4【答案】（1）解：当=1时，()=1cos+sin2(0)=1 020cos0+sin0=1，所以切点为(0，1)，2()=1+sin+cos，(0)=01+sin0+cos0=0，所以曲线=()在点(0，(0)处的切线的斜率为=(0)=0，所以曲线=()在点(0，1)处的切线的斜率切线方程为(1)=0 (0)，即+1=0.21 2（2）解：由()=+cos+sin，得()=1sin+cos3恒成立，3因为函数()在0，4 上单调递减，可得()0对任意 0，4设()=(
13、)=1sin+cos，则()=1cossin.因为(0)=01sin0+cos0=0，所以使()0对任意 03恒成立，4则至少满足(0)0，即1 0，解得 1.下证明当 1时，()0恒成立，因为 03，所以sin 0，4因为 1，所以()1sin+cos.3记()=1sin+cos，则()=1cossin=1 2sin(+4).当 (0，2)时，()0.所以函数()在0)上单调递减，在 3上单调递增.，233因为(0)=0，(4)=4 1(2，42 0，所以()在03上的最大值为(0)=0.，4即()()=1sin+cos 0在03上恒成立.，4所以 a 的取值范围为1，+).3 5 【答案】
14、（1）解：由题知，()的定义域为 R，()=e+，当 m1 时，()=e+，当 m1 时，曲线=()在点(0，(0)处的切线与直线 xy10 垂直n11，n2，()=e2，()=e2当 0时，()0时，()0时，令()=0，解得=1 ln 2，当 1 ln 2 时，()0，()单调递增；当 1 ln 2 时，()1，1 ln 2=0，m2（2）证明：=(2)(1)21e2e1 21=2令()=()=ee2e1 212，则()=e 0()单调递增e1又(1)=e2e1 21e121=e(21)(2 1)1，e2(2)=e2e1e221=21e(12)(1 2)1，又 0，令()=e1，则()=e
15、1令()=0，解得 x0，当 0时，()0，()单调递增，当 0时，()0 0，1 0，e(12)(12)1 0e1e22121 0(1)0()在(1，2)上有唯一零点方程()=在(1，2)上有唯一实数根3 6 【答案】（1）解：依题意，方程()=(1)+1=0在区间0，1上有解，即=+11在区间0，1上有解，记()=+1，则函数()区间0，1上单调增，其值域为0，2 1故实数 a 的取值范围是0，2.1（2）解：()=0+1=0(1)令()=+1=1 2 11在(，1)上单调递增，在（1，）上单调递增，23(2)=1 1 0(1.1)=1.121 0，根据零点存在性定理可知，()在(，1)，
16、(1+)上各有一个零点，即原函数有 2 个零点.23 7 【答案】（1）解：由题意，()=1ln，则()=22，()=，11所以函数=()在点 1()(，2处的切线方程为()=2()11，即223=0.（2）证明：设1 2 0，由题意，(1)=(2)=0，所以ln11=0，ln22=0，可得ln1+ln2=(1+2)，ln1ln2=(12)，要证明12 2，只需证ln1+ln2 2，即(1+2)2，因为=ln1ln2 12，所以可转化为证明12 1+2ln1ln2 2，2即ln1 2(12)+12+112(1)，令=，则 1，即证ln，2 42(1)1(1)2令()=ln(1)，则()=0，+
17、1 (+1)2(+1)21+12 (11)所以函数()在(1，+)上是增函数，所以()ln1=0，+1即ln 2(1)得证，所以12 2.3 8【答案】（1）解：函数()=21的定义域为|1，()=212()2+21(21)2(21)2=，9由已知可得(2)=45=1，解得=1.（2）解：因为()=2+21(21)22，令()=+21(1).当 0时，对任意的 1，()=2+21 0恒成立，则()0，此时函数()在(1，+)上单调递减，没有最大值；当0 1时，()=2+21在(1，+)上单调递减，则()(1)0，则()1时，方程2+21=0的两根分别为1=21，2=+21，由 1可知0 1 1 0恒成立，所以 f（x）在（0，+）上单调递增.故当 (1，+)时，()(1)=0，不合题意，舍去；若1 0，则0 1 1，所以当 (0，)(1，+)时，()0，则（）的单调递减区间为(0，)和(，+)，单调递增区间为(，1)1故当 (1，)时，()(1)=0，不合题意；若=1，则()=(1)22 0，所以 f（x）在（0，+）上单调递减.故当 (1，+)时，()(1)=0，符合题意；若 1，则0 1 1 ，所以当 (0，1)(，+)时，()0，则 f（x）的单调递减区间为(0，1)和(，+)，单调递增区间为(1，)故当 (1，)，()(1)=0，不合题意 综上所述：=1
