1、2022-2023学年湖南省邵阳二中高三（上）第二次月考数学试卷一.单选题：共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）已知集合Ax|x23x40，B4，1，3，5，则AB（）A4，1B1，5C3，5D1，32（5分）命题p：xN，x3x2的否定形式p为（）AxN，x3x2BxN，x3x2CxN，x3x2DxN，x3x23（5分）函数f（x）在，的图象大致为（）ABCD4（5分）“函数yx22ax+a的图象在x轴的上方”是“0a1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2x）5，g（x）f（x4）
2、7若yg（x）的图像关于直线x2对称，g（2）4，则f（k）（）A21B22C23D246（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意xR都有f（x+2）f（2x）+4f（2），若函数yf（x+1）的图象关于点（1，0）对称，且f（1）3，则f（2021）（）A6B3C0D37（5分）当x1时，函数f（x）alnx+取得最大值2，则f（2）（）A1BCD18（5分）对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）f（x）+b对一切xR均成立，则称f（x）是“控制增长函数”在以下四个函数中：f（x）ex；f（x）；f（x）sin（x2）；f（x）xsinx是“控制增长函数”
3、的有（）个A1B2C3D4二、多选题：每题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知函数f（x）x3x+1，则（）Af（x）有两个极值点Bf（x）有三个零点C点（0，1）是曲线yf（x）的对称中心D直线y2x是曲线yf（x）的切线（多选）10（5分）如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项成立的是（）AabacBcb2ab2Cc（ba）0Dac（ac）0（多选）11（5分）已知函数f（x）sin（cosx）+cos（sinx），下列关于该函数结论正确的是（）Af（x）的图象关于直线x对称Bf（x）的一个周期是2Cf（x）的最大值为2Df（x）是
4、区间（0，）上的减函数（多选）12（5分）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（）A函数f（x）为周期函数，且最小正周期为B函数f（x）的图象关于点（2，0）对称C函数f（x）的图象关于直线x对称D函数f（x）的导函数f（x）的最大值为4三、填空题13写出一个同时具有下列性质的函数f（x）： f（x1x2）f（x1）f（x2）；当x（0，+）时，f（x）0；f（x）是奇函数14已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a 15
5、设函数f（x），若方程f（x）m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则（x1+x2）2+x32+x42的取值范围为 16若f（x）ln|a+|+b是奇函数，则a ，b 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在sinB+cosB2，cos2B+cosB20，b2a2c2ac这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答问题：已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a4，cb，_，求ABC的面积18已知数列an满足a1+2a2+3a3+nann2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（1）n（an+an+1），求
6、数列bn的前2020项和S202019如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1，设点M在线段EF上运动（1）证明：BCAM；（2）设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求的最小值20甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K
7、2P（K2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63521如图，点A为椭圆C1：x2+2y21的左顶点，过A的直线l1交抛物线C2：y22px（p0）于B，C两点，点C是AB的中点（1）若点A在抛物线C2的准线上，求抛物线C2的标准方程；（2）若直线l2过点C，且倾斜角和直线l1的倾斜角互补，交椭圆C1于M，N两点，证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值；当BMN的面积最大时，求p的值22已知函数f（x）aex+2x1（其中常数e2.71828，是自然对数的底数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意的a1，当x0时，f（x）（x+ae）x参考答案与试题解析一.
8、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）已知集合Ax|x23x40，B4，1，3，5，则AB（）A4，1B1，5C3，5D1，3【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案【解答】解：集合Ax|x23x40（1，4），B4，1，3，5，则AB1，3，故选：D2（5分）命题p：xN，x3x2的否定形式p为（）AxN，x3x2BxN，x3x2CxN，x3x2DxN，x3x2【分析】命题P为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题解答【解答】解：命题p：xN，x3x2的否定形式是特称命题；p：“xN，x3x2”故选：D3（5分）函数f（x）在，的图象大致为（）ABCD【分析】由f
9、（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（），判断正负即可排除B，C【解答】解：f（x），x，f（x）f（x），f（x）为，上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D4（5分）“函数yx22ax+a的图象在x轴的上方”是“0a1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】由函数yx22ax+a的图象在x轴的上方可得，判别式恒小于0，建立不等式求出a的范围，再根据四个条件的定义即可判断求解【解答】解：函数yx22ax+a的图象在x轴的上方，则4a24a0，解得0a1，由集合的包含关系可知（0，1）0，1，所以函数yx22ax+a的图
10、象在x轴的上方”是“0a1”的充分不必要条件，故选：A5（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2x）5，g（x）f（x4）7若yg（x）的图像关于直线x2对称，g（2）4，则f（k）（）A21B22C23D24【分析】由yg（x）的对称性可得f（x）为偶函数，进而得到f（x）关于点（1，1）中心对称，所以f（1）f（1）1，再结合f（x）的周期为4，即可求出结果【解答】解：yg（x）的图像关于直线x2对称，则g（2x）g（2+x），f（x）+g（2x）5，f（x）+g（2+x）5，f（x）f（x），故f（x）为偶函数，g（2）4，f（0）+g（2）5，得f（0）1由
11、g（x）f（x4）7，得g（2x）f（x2）+7，代入f（x）+g（2x）5，得f（x）+f（x2）2，故f（x）关于点（1，1）中心对称，f（1）f（1）1，由f（x）+f（x2）2，f（x）f（x），得f（x）+f（x+2）2，f（x+2）+f（x+4）2，故f（x+4）f（x），f（x）周期为4，由f（0）+f（2）2，得f（2）3，又f（3）f（1）f（1）1，所以f（k）6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）11（1）+51+6（3）24，故选：D6（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意xR都有f（x+2）f（2x）+4f（2），若函数yf（x+1）的图象关于点（1
12、，0）对称，且f（1）3，则f（2021）（）A6B3C0D3【分析】由函数f（x+1）的图象关于（1，0）对称且由yf（x+1）向右平移1个单位可得yf（x）的图象可知函数yf（x）的图象关于原点对称即函数yf（x）为奇函数，求出f（2）的值，结合函数的周期，利用所求周期即可求解【解答】解：令x0，得f（2）f（2）+4f（2），即f（2）0，f（x+2）f（2x），因为函数yf（x+1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数yf（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）f（x），所以f（x+2）f（2x）f（x2），即f（x+4）f（x），f（x+8）f（x），则f（2021）f（2538
13、3）f（3）f（1）3，故选：D7（5分）当x1时，函数f（x）alnx+取得最大值2，则f（2）（）A1BCD1【分析】由已知求得b，再由题意可得f（1）0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f（2）【解答】解：由题意f（1）b2，则f（x）alnx，则f（x），当x1时函数取得最值，可得x1也是函数的一个极值点，f（1）a+20，即a2f（x），易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故x1处，函数取得极大值，也是最大值，则f（2）故选：B8（5分）对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）f（x）+b对一切xR均成立，则称f（x）是“控制增
14、长函数”在以下四个函数中：f（x）ex；f（x）；f（x）sin（x2）；f（x）xsinx是“控制增长函数”的有（）个A1B2C3D4【分析】假设给出的函数为“控制增长函数”，根据定义推出f（x+a）f（x）+b恒成立的条件，然后判断a，b的存在性即可得出答案【解答】解：对于，f（x+a）f（x）+b可化为ex+aex+b，即ex（ea1）b，ea1大于0恒成立，总存在x使ex（ea1）b，所以ex（ea1）b对一切xR不恒成立，所以f（x）ex不是“控制增长函数”；对于，若f（x）是“控制增长函数”，则f（x+a）f（x）+b可化为：+b，|x+a|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|x|
15、+a，|x|+a|x|+b2+2b，显然当ab2时式子恒成立，f（x）是“控制增长函数”；对于，1f（x）sin（x2）1，f（x+a）f（x）2，当b2时，a为任意正数，使f（x+a）f（x）+b恒成立，故f（x）sin（x2）是“控制增长函数”；对于，若f（x）xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）xsinx+b恒成立，令a2k，使sin（x+a）sinx，则（x+2）sin（x+2）xsinx+2sinxxsinx+b，即b2sinx，只需b2，即ab，f（x）xsinx是“控制增长函数”，综上，是“控制增长函数”的有3个，故选：C二、多选题：每题5分，共20分。全部
16、选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知函数f（x）x3x+1，则（）Af（x）有两个极值点Bf（x）有三个零点C点（0，1）是曲线yf（x）的对称中心D直线y2x是曲线yf（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（x）2，可判断选项C；假设y2x是曲线yf（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线yf（x）上即可【解答】解：f（x）3x21，令f（x）0，解得或，令f（x）0，解得，f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项
17、B错误；又f（x）+f（x）x3x+1x3+x+12，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y2x是曲线yf（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（1，2）均不在曲线yf（x）上，故选项D错误故选：AC（多选）10（5分）如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项成立的是（）AabacBcb2ab2Cc（ba）0Dac（ac）0【分析】根据不等式的基本性质判断A，C，D，根据特殊值法判断B【解答】解：cba，且ac0，故a0，c0，对于A：由cb得：acbc，故A正确，对于B：取c1，b0，a1，显然B错误，对于C：ba0，c0，故c（ba）0，故C正
18、确，对于D：ac0，ac0，故ac（ac）0，故D正确，故选：ACD（多选）11（5分）已知函数f（x）sin（cosx）+cos（sinx），下列关于该函数结论正确的是（）Af（x）的图象关于直线x对称Bf（x）的一个周期是2Cf（x）的最大值为2Df（x）是区间（0，）上的减函数【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质，对选项逐一判断，即可得到答案【解答】解：因为f（x）sin（cosx）+cos（sinx），对于A，f（x）sin（cos（x）+cos（sin（x）sin（cosx）+cos（sinx）f（x），故选项A错误；对于B，f（2+x）sin（cos（2+x）+sox（sin（2+
19、x）sin（cosx）+cos（sinx）f（x），故选项B正确；对于C，因为1cosx1，所以ysin（cosx）的最大值为sin1，当cosx1时，ycos（sinx）cos01，取得最大值，所以f（x）的最大值为sin1+1，故选项C错误；对于D，ycosx在（0，）上是减函数，且cosx（0，1）（0，），所以ysin（cosx）在区间（0，）上是减函数，ysinx在区间（0，）上是增函数，且sinx（0，1）（0，），所以ycos（sinx）在区间（0，）上是减函数，故选项D正确故选：BD（多选）12（5分）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网
20、就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（）A函数f（x）为周期函数，且最小正周期为B函数f（x）的图象关于点（2，0）对称C函数f（x）的图象关于直线x对称D函数f（x）的导函数f（x）的最大值为4【分析】直接利用三角函数的性质函数的单调性对称性和函数的值域，及函数的导数的应用判断A、B、C、D的结论【解答】解：sinx+，对于A：f（x+）sin（+x）+（sinx+）f（x）所以函数的最小正周期不是，故A错误对于B：当x2时，f（2）0，故B正确；对于C：f（x）sinx+f（x）故C正确；对于D：f（x）cosx+cos3x+cos5
21、x+cos7x，由于1cosx，cos3x，cos5x，cos7x1，所以f（x）cosx+cos3x+cos5x+cos7x4，故最大值为4故选：BCD三、填空题13写出一个同时具有下列性质的函数f（x）：f（x）x2f（x1x2）f（x1）f（x2）；当x（0，+）时，f（x）0；f（x）是奇函数【分析】可看出f（x）x2满足这三个性质【解答】解：f（x）x2时，；当x（0，+）时，f（x）2x0；f（x）2x是奇函数故答案为：f（x）x2另解：幂函数f（x）xa（a0）即可满足条件和；偶函数即可满足条件，综上所述，取f（x）x2即可14已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1
22、）处的切线过点（2，7），则a1【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）ax3+x+1的导数为：f（x）3ax2+1，f（1）3a+1，而f（1）a+2，切线方程为：ya2（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2（3a+1）（21），解得a1故答案为：115设函数f（x），若方程f（x）m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则（x1+x2）2+x32+x42的取值范围为 （22，22.5）【分析】方程f（x）m有四个不相等的实根，不妨令x1x2x3x4，由题意f（x）的图象是关于x2对称的，可得x1+x4x2+
23、x34助于|lnx|的图象可以得到x1，x2之间的关系，最终将（x1+x2）2+x32+x42表示成x2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题【解答】解：方程f（x）m有四个不相等的实根，不妨令x1x2x3x4，可得x1+x4x2+x34，lnx1lnx2，x1x21，x44，x34x2（x1+x2）2+x32+x42（）2+（4x2）2+（4）2（）2+8x2+322（）28（x2+）+30，x2（1，2），令tx2+（2，），则原式化为：h（t）2t28t+30，t（2，），其对称轴t2，开口向上，故h（t）在（2，）递增，22h（t）22.5，（x1+x2）2+x32+
24、x42的取值范围是（22，22.5）故答案为：（22，22.5）16若f（x）ln|a+|+b是奇函数，则a，bln2【分析】显然a0，根据函数解析式有意义可得，x1且x，所以1+1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f（0）0即可求出b的值【解答】解：f（x）ln|a+|+b，若a0，则函数f（x）的定义域为x|x1，不关于原点对称，不具有奇偶性，a0，由函数解析式有意义可得，x1且a+，x1且x，函数f（x）为奇函数，定义域必须关于原点对称，1+1，解得a，f（x）ln|+b，定义域为x|x1且x1，由f（0）0得，ln+b0，bln2，故答案为：；ln2四、解答题：共70
25、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在sinB+cosB2，cos2B+cosB20，b2a2c2ac这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答问题：已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a4，cb，_，求ABC的面积【分析】选：利用辅助角公式可得sin（B+）1，再根据B的取值范围，得角B的值；选：利用二倍角公式化简，解方程，再根据B的取值范围，得角B的值；选：利用余弦定理推出cosB，再根据B的取值范围，得角B的值，结合正弦定理与cb，可得角C的值，然后分两类讨论，求ABC的面积即可【解答】解：选：由sinB+cosB2得，sin（B+）1，因为B（0
26、，），所以B；选：由cos2B+cosB20得，2cos2B+cosB30，即（2cosB）（cosB+）0，解得cosB或（舍），又B（0，），所以B；选：由b2a2c2ac得，a2+c2b2ac，由余弦定理知，cosB，因为B（0，），所以B；由正弦定理及cb知，sinCsinB，又C（0，），所以C或，当C时，A，因为a4，所以b2，c2，所以ABC的面积Sbc222；当C时，AB，因为a4，所以ba4，所以ABC的面积SabsinC444，综上所述，ABC的面积为2或418已知数列an满足a1+2a2+3a3+nann2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（1）n（an+
27、an+1），求数列bn的前2020项和S2020【分析】（1）直接利用数列的递推关系式，求出数列的通项公式；（2）先根据条件求出bn，然后利用裂项相消法，求出数列的和【解答】解：（1）数列an满足a1+2a2+3a3+nann2当n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1（n1）2得，整理得，当n1时，a11符合上式，所以（2）bn（1）n（an+an+1）（1）n（2+2），所以S2020b1+b2+b2020（21+2）+（2）+（）+（）119如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1，设点M在线段EF上运动（1
28、）证明：BCAM；（2）设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求的最小值【分析】（1）证明BCAC利用平面ACFE平面ABCD，推出BC平面ACFE即可证明BCAM；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以AB2，所以AC2AB2+BC22ABBCcos603，所以AB2AC2+BC2，所以BCAC因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，因为BC平面ABCD，所以BC平面AC
29、FE所以BCAM；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则C（0，0，0），B（0，1，0），M（，0，1），设为平面MAB的一个法向量，由得，取x1，则，是平面FCB的一个法向量，当时，cos有最大值，的最小值为20甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车
30、所属公司有关？附：K2P（K2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关21如图，点A为椭圆C1：x2+2y21的左顶点，过A的直线l1交抛物线C2：y22px（p
31、0）于B，C两点，点C是AB的中点（1）若点A在抛物线C2的准线上，求抛物线C2的标准方程；（2）若直线l2过点C，且倾斜角和直线l1的倾斜角互补，交椭圆C1于M，N两点，证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值；当BMN的面积最大时，求p的值【分析】（1）求得A（1，0），以及抛物线的准线方程，可得p；（2）设l1的方程为xmy1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得C的横坐标，即可得证；由题意可设直线l2的方程为xm（y）+，即xmy+2，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，换元法和基本不等式，可得p的值【解答】解：（1）由题意可得A（1，0），又A在抛物线C2的准线x
32、上，则1，即p2，所以抛物线的方程为y24x；（2）证明：因为过A的直线l1和抛物线交于两点，所以l1的斜率存在且不为0，设l1的方程为xmy1，其中m为斜率的倒数，设B（x1，y1），C（x2，y2），联立可得y22pmy+2p0，14p2m28p0，且y1+y22pm，y1y22p，因为C为AB的中点，所以y12y2，所以y2，m2，所以x2m1，即C的横坐标为定值；因为直线l2的倾斜角和直线l1的倾斜角互补，所以l2的斜率和l1的斜率互为相反数设直线l2的方程为xm（y）+，即xmy+2，联立椭圆方程x2+2y21，可得（2+m2）y24my+30，2（4m）212（m2+2）4m424
33、0，即m26，yM+yN，yMyN，因为C为AB的中点，所以SBMNSAMN，因为A（1，0）到MN的距离d，|MN|yMyN|，所以SAMN|MN|d，令t（t0），可得SAMN，当且仅当t2，m时，等号成立，所以14，即p22已知函数f（x）aex+2x1（其中常数e2.71828，是自然对数的底数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意的a1，当x0时，f（x）（x+ae）x【分析】（1）由f（x）aex+2x1，得f（x）aex+2可得当a0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增；当a0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）（x+ae）x令g（
34、x），利用导数求其最小值得证【解答】（1）解：由f（x）aex+2x1，得f（x）aex+2当a0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增；当a0时，由f（x）0，解得xln（），由f（x）0，解得xln（），故f（x）在（，ln（）上单调递增，在（ln（），+）上单调递减综上所述，当a0时，函数f（x）在R上单调递增；当a0时，f（x）在（，ln（）上单调递增，在（ln（），+）上单调递减（2）证明：f（x）（x+ae）x令g（x），则g（x）当a1时，aexx1exx1令h（x）exx1，则当x0时，h（x）ex10当x0时，h（x）单调递增，h（x）h（0）0当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0g（x）g（1）0即，故f（x）（x+ae）x21 / 21
