1、第四章第四章 线性方程组线性方程组第一节第一节 齐次线性方程组有非零齐次线性方程组有非零 解的条件及解的结构解的条件及解的结构 一、齐次线性方程组有非零解的条件一、齐次线性方程组有非零解的条件1111221211222211220,0,0nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax具有具有 个方程个方程 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组mn（1）写成矩阵形式写成矩阵形式 0AX（2）其中其中111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA12,nxxxX00,0 0称矩阵称矩阵 A 为线性方程组为线性方程组（）的系数矩阵的系数矩阵按列分块写成按列分
2、块写成12,nA 其中其中T12,iiimia aa 1,2,.in将将 A 那么线性方程组（）可以改写成向量形式那么线性方程组（）可以改写成向量形式1122nnxxx 0 （）（）一个含有一个含有 n 个未知数的线性方程组的解是个未知数的线性方程组的解是 n 维向维向故也称线性方程组的解为故也称线性方程组的解为解向量解向量.那么，那么，通常将方程组的解写成列向量通常将方程组的解写成列向量的的形式形式一个一个 n 维向量维向量 是齐次是齐次T12(,)nc cc 线性方程组线性方程组 的解，的解，0AX 当且仅当满足当且仅当满足量，量，12000nccc 0 AA或者或者1212,nnccc0
3、.12,n 是线性相关的是线性相关的要条件是方程组系数矩阵要条件是方程组系数矩阵 A 的列向量组的列向量组 0AX定理定理1齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的充分有非零解的充分必要条件是必要条件是方程组系数矩阵方程组系数矩阵 A 的列向量组的列向量组推论推论齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解的充分必只有零解的充分必 0AX12,n 是线性无关的是线性无关的 次线性方程组次线性方程组 有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 0AX它的系数矩阵它的系数矩阵 A 的秩的秩()RnA m 小于未知数个数小于未知数个数 n，推论推论1如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 中的方程个数中
4、的方程个数0AX那么方程组有非零解的充分那么方程组有非零解的充分推论推论2如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 中的方程个数中的方程个数 0AX必要条件是必要条件是|0A定理定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理）（齐次线性方程组有非零解的判别定理）齐齐那么方程组必有非零解那么方程组必有非零解 m 等于未知数个数等于未知数个数 n，定理定理3设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的两个解，的两个解，12,0AX则则 是两个任意常数，是两个任意常数，12,kk1122kk 也是方程组也是方程组 的解的解 0AX若若 均为齐次线性方程组均为齐次线性方程组 的解，的解，12,s 0AX 是任意常
5、数，是任意常数，12,sk kk1122sskkk 二、齐次线性方程组的基础解系二、齐次线性方程组的基础解系则则也是方程组的解也是方程组的解 即齐次线性方程组解的线性组合即齐次线性方程组解的线性组合还是方程组的解还是方程组的解记记齐次线性方程组齐次线性方程组的解集合为的解集合为 S，0AXT12(,)|.nSc cc 0 A那么，上面的定理那么，上面的定理 3 就可以表述为：就可以表述为：对于任意的，对于任意的，是两个任意常数，是两个任意常数，12,S 12,kk1122.kkS 因此，因此，通常也把齐次线性方程组的通常也把齐次线性方程组的 0AX即即有有易证，易证，S 对于向量的加法和数量乘
6、法构成一个线性对于向量的加法和数量乘法构成一个线性空间空间解集合称为解集合称为解空间解空间定义定义1设设均是齐次线性方程组均是齐次线性方程组12,t 0AX提示提示：基础解系所含向量的个数是唯一确定的基础解系所含向量的个数是唯一确定的1）是线性无关的；是线性无关的；12,t 2）的任意一个解向量的任意一个解向量均可由均可由 0AX的解向量，的解向量，如果满足如果满足12,t 线性表出，线性表出，则称则称 为方程组为方程组 的一个的一个基础解系基础解系12,t 0AX如果如果 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的基的基12,t 0AX 那么方程组那么方程组 的解集合即为的解集合即为0AX1122
7、12|,.tttSkkkk kk是任意常数 系分别确定的解集合系分别确定的解集合定理定理4设设 与与 是齐次线性是齐次线性12,t 12,t 方程组方程组 的两个基础解系，的两个基础解系，0AX112212|,tttTllll ll是任意常数 112212|,tttSkkkk kk是任意常数 与与是相等的，是相等的，即即 ST则由这两个基础解则由这两个基础解础解系，础解系，0AX判断判断 是否有非零解：是否有非零解：故此空间是故此空间是存在基础解系，存在基础解系，定理定理5设设 A 是一个矩阵，是一个矩阵，mn 有非零解，有非零解，0AX且基础解系含有且基础解系含有 个解向量个解向量nr提示提
8、示：当时，当时，()RrnA齐次线性方程组齐次线性方程组0AX的解集合的解集合 S 的秩为的秩为 ，nr齐次线性方程组齐次线性方程组的求解步骤：的求解步骤：观察其非零行的行数确定观察其非零行的行数确定 A 的的若齐次线性方程组若齐次线性方程组()RrnA即当即当 时，时，那么方程组那么方程组而而 S 作为线性空间（解作为线性空间（解空间）存在一个含有空间）存在一个含有 个向量的基，个向量的基，nr维的维的nr0AX首先，对首先，对 的系数矩阵的系数矩阵 A 进行初等行变换进行初等行变换化成行阶梯型矩阵，化成行阶梯型矩阵，()RrA秩秩 ，从而，从而，0AX存在非零解存在非零解 将将 A 化成简
9、化行阶梯型矩阵化成简化行阶梯型矩阵 C，否则，若否则，若 ，rn即为原即为原在在 有非零解时，有非零解时，0AX 与与 同解，同解，0CX0AX只需求只需求 的解的解 0CX先确定先确定 的自由未知量，的自由未知量，0CX1,rnxx12,n r 并对这组未知量分别取并对这组未知量分别取 维单位向量维单位向量nr得到得到 的的 个解个解 0CXnr12,n r 方程组方程组 的一个基础解系的一个基础解系0AX若若 ，rn0AX只只有零解有零解，然后，然后，利用初等行变换利用初等行变换其对应的方程组其对应的方程组为为此，此，不妨设为不妨设为最后，最后，表达出表达出 的解集合为的解集合为0AX1
10、12212|,n rn rn rSkkkk kk是任意常数 例例1求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组12345123451234524520,2330,2340,2420.xxxxxxxxxxxxxxxxxx当当 时，时，ABO()().RRnABmn例例2设设 A 是一个矩阵，是一个矩阵，np B 是一个是一个 矩矩阵阵那么，那么，有有例例3已知线性方程组已知线性方程组11 11221,2221 12222,221 122,220,0,(I)0nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxa xa xax的一个基础解系为的一个基础解系为111211,2,nbbb 212222,2,nb
11、bb 12,2.nnnn nbbb 试求线性方程组试求线性方程组11 11221,2221 12222,221 122,220,0,(II)0nnnnnnnnnb yb ybyb yb ybyb yb yby的一个基础解系的一个基础解系第二节第二节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 有解的条件及解的结构有解的条件及解的结构11 112 21121 122 2221 12 2,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb非齐次方程组非齐次方程组的的矩阵形式矩阵形式为为（）（）AX111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA（）（）其中其中12,n
12、xxx X=12.mbbb 将方程组（将方程组（7）的系数矩阵）的系数矩阵 A 按列进行分块按列进行分块12,n A其中其中 ，T12,iiimia aa 1,2,in程组程组（）可以改写成向量形式）可以改写成向量形式那么线性方那么线性方1122nnxxx （）（）把方程组（把方程组（7）的增广矩阵记为）的增广矩阵记为，A11121121222212.nnmmmnmaaabaaabaaabA即即那么当那么当 时，时，|0A一、非齐次线性方程组有解的条件一、非齐次线性方程组有解的条件定理定理6（非齐次线性方程组有解的判别定理）（非齐次线性方程组有解的判别定理）次线性方程组次线性方程组有解的充分必
13、要条件是它的有解的充分必要条件是它的 AX系数矩阵系数矩阵 A 和增广矩阵和增广矩阵 的秩相等，的秩相等，A且且1）当）当时，时，()()RRnAA2）当）当时，时，()()RRnAA存在唯一解存在唯一解 AX非齐非齐方程组存在唯一解；方程组存在唯一解；方程组存在方程组存在无穷多无穷多解解 AX推论推论如果非齐次线性方程组如果非齐次线性方程组的方程的个的方程的个数数 m 等于未知数个数等于未知数个数 n，方程组方程组二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构定义定义2设设是形如（）式的一个非齐次线是形如（）式的一个非齐次线 AX将的常数项都换成将的常数项都换成 0，AX个齐次线性
14、方程组个齐次线性方程组 ，0AX为为 的的导出组导出组0AX AX定理定理7设设是方程组是方程组 的一个解，的一个解，AX是它导出是它导出 组组 的一个解，的一个解，0AX则则 也是方程组也是方程组 的的 AX定理定理8设设 是方程组是方程组 的两个解，的两个解，12,AX是是 导出组导出组 的一个解的一个解 AX0AX性方程组，性方程组，就得到一就得到一称这个齐次线性方程组称这个齐次线性方程组一个解一个解12 则则则则 的解集合为的解集合为 AX组解的结构定理组解的结构定理（通常称为（通常称为特解特解）1）当）当 时，时，()()RRnAA方程组方程组 有解，有解，AX是是唯一唯一的的解；解
15、；0 AX定理定理9设矩阵设矩阵 A 是一个是一个 矩阵矩阵mn存在存在无穷多无穷多解解，2）当）当 时，时，()()RRnAA01 12212|,sssSkkkk kk是任意常数 ，的导出组的导出组 AX0AX其中其中 是是 的一个基础解系的一个基础解系12,s 0AX由这两个结果，由这两个结果，我们能够得到非齐次线性方程我们能够得到非齐次线性方程若非齐次线性若非齐次线性0 AX令令 是的某一个解是的某一个解例例5讨论讨论取何值时，取何值时，a方程组方程组1231231233,2,2axxxaxaxxxxax 有解，有解，并在方程组有解时求解并在方程组有解时求解例例4求解线性方程组求解线性方程组1234123412341234246,2358,34610,45712.xxxxxxxxxxxxxxxx例例6证明：证明：11112211211222221122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb的系数矩阵的系数矩阵 A 的秩等于矩阵的秩等于矩阵11121121222212120nnnnnnnnaaabaaabaaabbbbB的秩，的秩，如果非齐次线性方程组如果非齐次线性方程组那么这个方程组有解那么这个方程组有解
