1、例题、已知ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值解析：解法一 内角A、B、C依次成等差数列，则B=3ABC的面积为33，S=12acsinB=33,ac=12D为边AC的中点，所以BD=12(BA+BC)BD2=14(BA2+BC2+2BABC)BD2=14c2+a2+2accosB=14c2+a2+ac142ac+ac=9解得BD3,当且仅当a=c时等号成立所以BD长的最小值为3解法二 利用互补角解三角形内角A、B、C依次成等差数列，则B=3ABC的面积为33，S=12acsinB=33,ac=12D为边AC的中点，在ABD中，cosADB
2、=BD2+AD2-AB22BDAD=BD2+b24-c22b2BD在CBD中，cosCDB=BD2+CD2-CB22BDCD=BD2+b24-a22b2BDcosADB=-cosCDBBD2+b24-c2=-(BD2+b24-a2)2BD2=a2+c2-b22b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-122BD2=6+a2+c226+ac=18BD3,当且仅当a=c时等号成立所以BD长的最小值为3变式：在ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，bsinC+asinA=bsinB+csinC,c+2b=4,点D在线段BD上，且BD=2DC，求AD的最小值解析：解法一 bsinC+asi
3、nA=bsinB+csinC，则bc+a2=b2+c2cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，则A=3点D在线段BD上，且BD=2DC，所以AD=BD+AB=23BC+AB=23(AC-AB)+AB=13AB+23ACAD2=19AB2+49AC2+49ABACAD2=19c2+49b2+49bccosA=19c2+4b2+2bc=19(2b+c2-2bc)因为c+2b=4,2bc(c+2b2)2=4AD243解得AD233,当且仅当2b=c时等号成立所以AD的最小值为233。或者：AD2=19c2+49b2+49bccosA=19c2+4b2+2bc=194-2b2+4b2+2b
4、4-2b=194b2-8b+16=49(b-1)2+3当b=1时，AD的最小值为233。解法二 利用互补角解三角形bsinC+asinA=bsinB+csinC，则bc+a2=b2+c2cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，则A=3点D在线段BD上，且BD=2DC，在ABD中，cosADB=AD2+BD2-AB22BDAD=AD2+4a29-c222a3AD在CBD中，cosCDA=AD2+CD2-CA22ADCD=AD2+a29-b22a3ADcosADB=-cosCDAAD2+4a29-c2=-(2AD2+2a29-2b2)3AD2=-23a2+c2+2b2a2=b2+c2-
5、2bccosA=b2+c2-bcAD2=19c2+4b2+2bc=19(2b+c2-2bc)因为c+2b=4,2bc(c+2b2)2=4AD243解得AD233,当且仅当2b=c时等号成立所以AD的最小值为233。拓展：（2018江苏高考）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为 解析：BD是ABC的平分线，所以ADCD=ABBC=ca所以BD=aa+cBA+ca+cBCBD2=(aa+cBA)2+(ca+cBC)2+2aa+cca+cBC1=(ac)2(a+c)2,得ac=a+c，1a+1c=14a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac9当且仅当ca=4ac，a=32,c=3时取得最小值9.
