1、公众号码：王校长资源站10.3二项式定理最新考纲考情考向分析会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大(4)
2、(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.概念方法微思考1(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同2二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时
3、二项式系数等于项的系数，否则不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第r1项的系数为Canrbr.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40 C20 D10答案B解析Tr1C(2x)rC2rxr，当r2时，x2的系数为C2240.3若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20 C3
4、0 D120答案B解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tr1Cx6rrCx62r，当62r0，即当r3时为常数项，T4C20.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC(y)m1xnm1，所以系数为C(1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1
5、k11，kN)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5 B6 C7 D8答案B解析由二项式定理知，anC(n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.7(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_答案6解析二项展开式的通项是Tr1C(x)4r(y)r(1)rC，令423，解得r2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1 (1)(2017全国)(1x)6的展开式中x2的系数为()A15 B20 C30 D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和C
6、x4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x24)5的展开式中，含x6的项为_答案160x6解析因为(x24)5的展开式的第r1项的通项公式为Tr1C(x2)5r(4)r(4)rCx102r，令102r6，得r2，所以含x6的项为T3(4)2Cx6160x6.(3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_答案12解析方法一(x2xy)4(x2x)y4，其展开式的第r1项的通项公式为Tr1C(x2x)4ryr，因为要求x3y2的系数，所以r2，所以T3C(x2x)42y26(x2x)2y2.因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系
7、数是6212.方法二(x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是CCC12.命题点2求参数例2 (1)(2018大连调研)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tr1Cx10rrCx102r，10的展开式中含x4(当r3时)，x6(当r2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D.(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为()A2 B. C2 D答案A解析
8、6的展开式的通项为Tr1C(x2)6rrCrx123r，令123r0，得r4.故C4，即4，解得a2，故选A.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可跟踪训练1 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80答案C解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.故选C.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案
9、)答案解析通项为Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7项的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)(2018沈阳质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)
10、2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_答案255解析n展开式的第r1项为Tr1C(x2)nrrC(1)rx2n3r，当r5时，2n3r1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华
11、 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a
12、5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.题型三二项式定理的应用例4 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 0
13、11C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2 017等于()Ai BiC1i D1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171i2 0171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论
14、跟踪训练3 (1)190C902C903C(1)r90rC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C903C(1)r90rC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则_.答案1解析当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01，即1.1在6的展开式中，常数项为()A240 B60 C60 D240答案D解析6的展开式中，通项公式为Tr1C(x2)6rr(2)rCx123r，令123r0，得r4，故常
15、数项为T5(2)4C240，故选D.2(2018沈阳联考)5的展开式中x3项的系数为()A80 B80 C40 D48答案B解析5的展开式的通项公式为Tr1C(2x)5rr(1)r25rCx52r，令52r3，得r1.于是展开式中x3项的系数为(1)251C80，故选B.3(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A80 B40 C40 D80答案D解析(2xy)6的展开式的通项公式为Tr1C(2x)6r(y)r，当r2时，T3240x4y2，当r3时，T4160x3y3，故x4y3的系数为24016080，故选D.4(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为()
16、A21 B35 C45 D28答案B解析Tr1C(3x)r3rCxr，由已知得35C36C，即C3C，n7，x4的二项式系数为C35，故选B.5(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是()A20 B15 C15 D20答案C解析设展开式中的常数项是第r1项，则Tr1C(4x)6r(2x)rC(1)r212x2rx2rxC(1)r212x3rx，12x3rx0恒成立，r4，T5C(1)415.6若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为()A4 B. C4 D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为4a115，a4.7若二项式7
17、的展开式中的各项系数之和为1，则含x2的项的系数为()A560 B560 C280 D280答案A解析取x1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项为Tr1C(x2)7rrC(2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，故选A.8若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则a13a232a2 01832 018的值为()A22 0181 B82 0181 C22 018 D82 018答案B解析由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a2 0183
18、2 018(19)2 01882 018，所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181，故选B.9若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答)答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.10若6的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.答案0解析6的展开式的通项为Tr1Ca6rbrx123r，令123r3，则r3，6的展开式中x3项的系数为Ca3b320，ab1，log2alo
19、g2blog2(ab)log210.119192除以100的余数是_答案81解析9192(901)92C9092C9091C902C90Ck10092901k1008210081(k为正整数)，所以9192除以100的余数是81.12(2018沈阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令x1，得a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，得a01，a2a4a121364.13在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)
20、等于()A45 B60 C120 D210答案C解析因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.14(2018大连模拟)已知n(nN)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p64q的最小值为_答案16解析显然p2n.令x1，得q.所以p64q2n216，当且仅当2n，即n3时取等号，此时p64q的最小值为16.15.5的展开式中常数项是_答案1 683解析5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，3，则此时的常数项为CC22(3)360，第二种情况是从五个中都抽取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，3，3，3，则此时的常数项为CC21(3)31 080，则展开式中常数项为3602431 0801 683.16若n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项解易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.由题意得12C4C163，可得n9.(1)设展开式中的有理项为Tr1，由Tr1C()9rr2rC，又0r9，r2,6.故有理项为T322C144x3，T726C5 376.(2)设展开式中Tr1项的系数最大，则r，又rN，r6，故展开式中系数最大的项为T75 376.公众号码：王校长资源站
