1、公众号码：王校长资源站13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，
2、a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立概念方法微思考1绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什
3、么？提示当a，b不共线时，|a|b|ab|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边2用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n1)段题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()题组二教材改编2不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D
4、解析由题意得即解得不等式的解集为(2,1 4,7)3求不等式|x1|x5|2的解集解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)题组三易错自纠4若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_答案9解析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成立题型一绝对值不等式的解法例1 (1)解不
5、等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.(2)(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.(*)当x1时，(*)式化为x2x40，从而10.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集
6、为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)题型二利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立|x1|x|y1|y1|的
7、最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最
8、小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2题型三绝对值不等式的综合应用例3 (2017全国)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决
9、与绝对值有关的综合问题的常用方法跟踪训练3 设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 019时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得，当a2 019时，f(x)因为f(x)在2 019，)上单调递增，所以f(x)的值域为2 019，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a3.即a的取值范围是(，3)(1，)1对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2
10、|m，求实数m的取值范围解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，)2已知函数f(x)|x1|x2|，g(x)x2xa.(1)当a5时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)解集包含2,3，求a的取值范围解(1)当a5时，不等式f(x)g(x)等价于|x1|x2|x2x5，当x2时，式化为x2x80，得2x，所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x2,3时，f(x)3，所以f(x)g(x)的解集包含2,3，等价于x2,3时g(x)3，又g(x)
11、x2xa在2,3上的最大值为g(3)6a，所以g(3)3，即6a3，得a3，所以a的取值范围为3，)3已知f(x)|2xa|x2|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若关于x的不等式f(x)3a23|2x|恒成立，求a的取值范围解(1)当a2时，由f(x)4，得2|x1|x2|4，当x1时，由2(1x)(2x)4，得4x1；当1x2时，由2(x1)(2x)4，得1x2；当x2时，由2(x1)(x2)4，得2x4.综上所述，f(x)4的解集为4,4(2)由不等式f(x)3a23|2x|，得|2xa|x2|3|x2|3a2，即|2xa|2x4|3a2，即关于x的不等式|2xa|2x4
12、|3a2恒成立，而|2xa|2x4|(2xa)(2x4)|a4|，当且仅当(2xa)(2x4)0时等号成立，所以|a4|3a2，解得a43a2或a43a2，解得1a或a.所以a的取值范围是.4已知函数f(x)|x1|.(1)解关于x的不等式f(x)1x2；(2)若关于x的不等式f(x)ax2|x1|的解集非空，求实数a的取值范围解(1)由题意f(x)1x2可知，|x1|1x2，即x11x2或x1x21，所以x2x20或x2x0，即x2或x1或x1或x0，故原不等式的解集为x|x0或x1(2)f(x)x2|x1|x1|，由于x2|x1|x1|所以当x1时，x2|x1|x1|的最小值为1.所以实数
13、a的取值范围为(1，)5已知函数f(x)|x2|2x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)若bR，不等式|ab|ab|f(x)对xR恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)原不等式等价于或或解得x1或x2或x2，综上所述，不等式的解集是.(2)bR，|ab|ab|f(x)对xR恒成立等价于(|ab|ab|)maxf(x)max.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，所以|ab|ab|的最大值为2|a|；当x时，f(x)；当x2时，5f(x)；当x2时，f(x)5，所以f(x)max，所以由原不等式恒成立，得2|a|，解得a或a.即a的取值范围是.6设f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)x2的解集；(2)若不等式满足f(x)|x|(|a2|a1|)对任意实数(x0)恒成立，求实数a的取值范围解(1)根据题意可知，原不等式为|x1|2x1|x2，等价于或或解得x.综上可得不等式f(x)x2的解集为R.(2)不等式f(x)|x|(|a2|a1|)等价于(|a2|a1|)，因为3，当且仅当0时取等号，因为(|a2|a1|)，所以|a2|a1|6，解得a或a，故实数a的取值范围为.公众号码：王校长资源站
