1、专题01 二次根式及其乘除运算知识网络重难突破一、二次根式的定义及二次根式有意义的条件1次根式的定义:一般地,我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义典例1 (2018春怀远县期末)在式子2,x2-2,x+3,3x2+1,(x0)中,一定是二次根式的有()A1个B2个C3个D4个典例2 (2018春莱城区期末)使代数式有意义的x的取值范围是_二. 二次根式的性质与化简 二次根式的性质:2=a(a0);a=| a |=;ab=ab(a0,b0);ab=ab(a0,b0).总结:由定义可知,二次根式有意义的条件是:被开方数大
2、于等于0;二次根式具有双重非负性(即被开方数大于等于0,二次根式的值大于等于0).典例1.(2017秋宝丰县期末)把式子m中根号外的m移到根号内得()A-mB-mCD-m2典例2 (2016秋成都期末)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简下列代数式的值a2-(c-a+b)2+|b+c|-3b3=_典例3(2017秋崇川区期末)若式子4-4a+a2+a2-8a+16的值为2,那么a的取值范围是()Aa4Ba2Ca2或a4D2a4典例4(2018春抚顺期末)观察下列各式:1+13=213,2+14=314;3+15=415,(1)请观察规律,并写出第个等式:_;(2)请用含n(n1)的式子写
3、出你猜想的规律:_;(3)请证明(2)中的结论三. 最简二次根式最简二次根式满足的条件:被开方数不含分母;被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.典例1(2018春天津期末)下列二次根式1.2;5x+y;4a3;x2-4;15;28其中,是最简二次根式的有()A2个B3个C4个D5个典例2(2018春番禺区期末)把下列二次根式化成最简二次根式:(1)3100;(2)32;(3)4x33.四. 二次根式的乘除积的算术平方根性质:ab=ab(a0,b0).二次根式的乘法法则:a=ab(a0,b0).商的算术平方根的性质:ab=ab(a0,b0).二次根式的除法法则:ab=ab(a0,b0).典例1(
4、2018春全椒县期末)计算:2123432五. 分母有理化1分母有理化是指把分母中的根号化去2分母有理化的方法与步骤:先将分子、分母化成最简二次根式;将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;最后结果必须化简成最简二次根式或有理式3分母有理化的2种常见方式:1a=1aaa=aa;1a+b=1(a-b)(a+b)(a-b)=a-ba-b(1a-b=1(a+b)(a-b)(a+b)=a+ba-b).典例1(2018春全椒县期末)在进行二次根式的运算时,如遇到23+1这样的式子,还需做进一步的化简:23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=2(3-1)3-1
5、=3-1还可以用以下方法化简:23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1这种化去分母中根号的运算叫分母有理化分别用上述两种方法化简:25-3典例2(2018春张家港市期末)已知a=3+2,b=3-2(1)求a2b2的值;(2)求ba+ab的值巩固练习1(2018春阆中市期末)下列的式子一定是二次根式的是()A-x-2BxCx2+2Dx2-22(2017秋遂平县期末)式子-2x+1x+1有意义的x的取值范围是()Ax12Bx1Cx12且x1Dx12且x13(2018秋南开区期末)若a3+3a2=-aa+3,则a的取值范围是()A3a0Ba0Ca0Da34(2
6、016春文安县期末)二次根式12、30、x+2、40x2、x2+y2中,最简二次根式有()个A1B2C3D45(2018春岑溪市期末)计算183443结果为()A32B42C52D626(2018春梁子湖区期末)在日常生活中,取款、上网都要密码为了保密,有人发明了“二次根式法”来产生密码,如对于二次根式169,计算结果为13,中间加一个数字0,于是就得到一个六位数的密码“169013”,对于二次根式0.25,用上述方法产生的六位数密码是_7(2018春静安区期末)化简12+1=_8(2018春罗平县期末)已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|-(a+c)2+(c-a)2-b29(2018春岱岳区期末)已知x=5+2,y2(1)求代数式x2-2xy+y2x2-y2的值;(2)求x2+y2+7的平方根