1、常系数非齐次线性微分方程 第九节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法)(xQex)()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、型)()(xPexfmx 为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中 为待定多项式,)(xQ)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 代入
2、原方程,得)(xQ(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程,)2,1,0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,
3、可设特解例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例2.xexyyy265 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(222
4、1xexx,2二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()(yqypy分析思路:第一步第一步 将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点ximexP)()(第一步第一步 利用欧拉公式将 f(x)变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm)(xPl2xixiee)(xPn
5、ieexixi2 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根(k =0,1),ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()(等式两边取共轭:ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程 的特解.ximexPyqypy)()(ximexPyqypy)()(设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmco
6、sxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式.第四步第四步 分析的特点yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy小小 结结:xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4.xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得
7、xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32,1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,i3)3sin33cos
8、5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为内容小结内容小结xmexPyqypy)(.1 为特征方程的 k(0,1,2)重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(.2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k(0,1)重根,ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)()1当xexxxf22cos)()2当xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1.(填空)设sin)(cos)(xxRxxRmm
