1、板块七.空间几何量计算综合问题典例分析【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ）A等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【例2】 如图，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点的轨迹是（ ）A线段B线段C中点与中点连成的线段D中点与中点连成的线段【例3】 （2010重庆高考）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线B椭圆C抛物线D双曲线【例4】
2、 （2010福建高考）如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（ ）AB四边形是矩形C是棱柱D是棱台【例5】 （2010江西高考）过正方形的顶点作直线，使与棱，所成的角都相等，这样的直线可以作A1条B2条C3条D4条【例6】 （2010全国卷高考）11与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点A有且只有1个 B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个【例7】 （2009海南）如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）AB平面C三棱锥的体积为定值D异面直线所成的角为定值【例8】 （2008辽宁）在
3、正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线（ ）A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条【例9】 （2009安徽文15）对于四面体，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）相对棱与所在的直线是异面直线；由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；若分别作和的边上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点【例10】 （2010年一模西城文题17）如图，在三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示证明：平面；求三棱锥的体积；在的平分线上确定一点，使得平面，并
4、求此时的长【例11】 （2010年二模宣武文题16）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， 求这个组合体的体积； 若组合体的底部几何体记为，其中为正方形）求证：平面；）求证：为棱上一点，求的最小值【例12】 （2010年二模宣武理题16）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，求这个组合体的表面积；若组合体的底部几何体记为，其中为正方形）求证：；）设点为棱上一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围【例13】 （2009广雅期中）已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点求四棱锥的体积；是否不论点在何位置，都有？证明你的结论【例1
5、4】 （2009江门市一模）如图，四棱锥，在它的俯视图中，求证：是直角三角形；求四棱锥的体积【例15】 （2009安徽文20）如图，是边长为的正方形，直线与平面平行，和是上的两个不同点，且，和是平面内的两点，和都与平面垂直证明：直线垂直且平分线段；若，求多面体的体积【例16】 如图，在矩形中，沿对角线将折起，使点移到点，面，且在上求证：平面；求点到平面的距离；求直线与平面所成角的正弦值【例17】 如图，和都是直角三角形，把三角形沿边折起，使所在的平面与所在的平面垂直，若求证：面面 ；求点到平面的距离【例18】 （2006江苏-19）在正中， 分别是边上的点，满足，将沿折起到的位置，使二面角成直
6、二面角，连结求证：平面求直线与平面所成角的大小求二面角的余弦值大小【例19】 （07湖南理18）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图2 证明：平面平面； 当，时，求直线和平面所成的角；【例20】 （2009江西）在四棱锥中，底面是矩形，平面， 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点求证：平面平面； 求直线与平面所成的角的大小；求点到平面的距离【例21】 （2003京皖春）如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为分别为棱的中点，求证：平面平面；求点到平面的距离；求三棱锥的体积【例22】 （2009扬州中学高三期末）在四棱锥中，平面，
7、为的中点，求四棱锥的体积；若为的中点，求证平面【例23】 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且，与所在的平面成角，是中点为中点求证：；求证：；求三棱锥的体积【例24】 （05-天津-19）如图，在斜三棱柱中，侧面与底面所成的二面角为，、分别是棱、的中点求与底面所成的角；证明：平面；求经过、四点的球的体积【例25】 （07福建理18）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点 求证：面； 求二面角的大小； 求点到平面的距离；【例26】 如图所示，正三棱柱的底边长为，高为，过作一截面交侧棱于，截面与底面成角，求截面的面积；求点到平面的距离；求与平面所成的角的正弦值【例27】 （05-江西-20）
8、如图，在长方体中，点在棱上移动证明：；当为的中点时，求点到面的距离；等于何值时，二面角的大小为【例28】 （2009江西）在四棱锥中，底面是矩形，平面， 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点求证：平面平面； 求直线与平面所成的角的大小；求点到平面的距离【例29】 （08北京卷16）如图，在三棱锥中， 求证：； 求二面角的大小； 求点到平面的距离【例30】 如图，四棱锥的底面是，的矩形，侧面是等边三角形，且侧面底面证明：侧面；证明：侧面侧面；求侧棱与底面所成角的大小【例31】 如图，是正四棱锥，是正方体，其中，求证：；求平面与平面所成的锐二面角的大小；求到平面的距离【例32】 如图所示，正
9、四棱柱中，底面边长为，侧棱长为分别为棱的中点，求证：平面平面；求点到平面的距离；求三棱锥的体积【例33】 （07福建理18）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点 求证：面； 求二面角的大小； 求点到平面的距离；【例34】 （05-江西-20）如图，在长方体中，点在棱上移动证明：；当为的中点时，求点到面的距离；等于何值时，二面角的大小为【例35】 已知为正三棱柱，是的中点证明：平面；若，求二面角的大小；若为的中点，求三棱锥的体积【例36】 四棱锥的底面是边长为的正方形，平面若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；证明无论四棱锥的高怎样变化，二面角恒大于【例37】 （1999全国-文22）如图
10、，已知正四棱柱，点在棱上，截面，且面与底面所成的角为，求截面的面积；求三棱锥的体积【例38】 （08辽宁卷19）如图1，在棱长为的正方体中，截面，截面 证明：平面和平面互相垂直； 证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值； 若与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值【例39】 （2009西城区一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，又，求证：平面；求二面角的大小；求点到平面的距离【例40】 （2009石景山区一模）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为求此正三棱柱的侧棱长；求二面角的大小；求点到平面的距离【例41】 （海淀二模）如图，直三棱柱中，、分别为棱、的中点 求点到平面的距离； 求二面角的大小； 在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由 16智康高中数学.板块七.空间几何量计算综合问题.学生版
