1、板块四.综合问题典例分析组合体【例1】 （2003京春）一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则 【例2】 已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为、，设四面体的表面积为，则等于（ ）ABCD【例3】 有一个轴截面是边长为的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积【例4】 棱长为1的正方体被以为球心，为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A B C D【例5】 已知正三棱锥，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为，底面边长为，内接正三棱柱的侧面积为
2、求正三棱柱的高；求正三棱柱的体积；求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比【例6】 （2008福建15） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【例7】 正方体全面积为，求它的外接球和内切球的表面积【例8】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，则球的表面积和体积的比为_【例9】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【例10】 （2007年天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积【例11】 （2008浙江卷14）如图，已知球的球面上四点、，平面，则球点体积等于_【例1
3、2】 （2007全国文15）正四棱锥的底面边长与各侧棱长都为，点、都在同一球面上，则该球的体积为_【例13】 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比（等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥）【例14】 设圆锥的底面半径为，高为，求：内接正方体的棱长；内切球的表面积【例15】 圆台的内切球半径为，且圆台的全面积和球面积之比为，求圆台的上，下底面半径（）【例16】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【例17】 （2009全国卷I）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于
4、 【例18】 （06四川卷文9）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（）A B C D【例19】 正四面体棱长为，求其外接球和内切球的表面积【例20】 如图所示，正四面体的外接球的体积为，求四面体的体积【例21】 （2008新课标海南宁夏文理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，那么这个球的体积为_【例22】 如图，在等腰梯形中，为的中点，将 与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积（ ） AB C D【例23】 （2008重庆理9）如图，体积为的大球内有个小球，每
5、个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A BC D【例24】 (2005全国，理12)将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )ABCD综合问题与三视图、直观图综合【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）AB CD【例25】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_【例26】 （2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为
6、（ ） A BC D【例27】 （2010年丰台一模）若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：），则该几何体的体积是 【例28】 （2010石景山一模）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为（ ）A B C D【例29】 （2010年东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 【例30】 （2010年东城一模）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C D【例31】 （2010年宣武一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 【例32】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_【
7、例33】 （2010年崇文一模）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：），该几何体的表面积和体积为（ ）A B C D以上都不正确【例34】 （朝阳文题12）如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 【例35】 （2010天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【例36】 （2010浙江高考）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 【例37】 （2010年崇文二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A B C D【例38】 （2010年朝阳二模）一个几何体的三视
8、图如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A B C D 【例39】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形求该几何体的体积；求该几何体的侧面积【例40】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是_【例41】 （2009扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 【例42】 （2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD【例43】 已知一个几何体的主视图
9、及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 【例44】 （2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；按照给出的尺寸，求该多面体的体积；在所给直观图中连结，证明：面【例45】 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点） 求证：MN平面CDEF； 求多面体ACDEF的体积其他问题【例46】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 【例47】 有一塔形几何体由若干
10、个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（包括上下底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A4B5C6 D7【例48】 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为、若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（）ABCD杂题【例49】 （2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）有下列四个命题：A正四棱锥的高等
11、于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【例50】 （2002年全国文最后一题）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等请设计一
12、种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明【例51】 （2006江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A个B个C个D无穷多个【例52】 （06江西卷）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）ABCD，的大小关系不能确定【例53】 （2004福建，16）如图，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图） 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大 【例54】 （2005全国，理12）将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）ABCD【例55】 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；哪个方案更经济些？15智康高中数学.板块四.综合问题.题库
