1、板块三.函数的零点典例分析题型一：正比例、反比例和一次函数型【例1】 某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】 1200【例2】 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 . 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】【例3】 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如
2、果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b
3、=0，所以y=0.2x（xN）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。【答案】（1）98（万公顷）（2）2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷【例4】 已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证
4、明；（）证明 其中和均为常数；【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】2006年，安徽理，高考【解析】 （）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。【答案】（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。【例5】 某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每
5、天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设摊主每天从报社买进x份，显然当x250，400时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润y为，x250，400因函数y在250，400上为增函数，故当x = 400时，y有最大值825元.【答案】当x = 400时，y有最大值825元【例6】 某地区上年度电价为0.8元/kWh，年用电荷量为a kWh，本年度计划将电价降到0.55元/ kWh至0.75元/ kWh之间，而用户
6、期望电价为0.4元/ kWh.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/ kWh. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20% (注：受益实际用电量(实际电价成本价)？【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)，下调电价后新增的用电荷量为本年度用电荷量为受益实际用电量(实际电价成本价)，(2)，上年受益，解得 即最低电价应定为元/ .答：关系式为，最低电价为元/ .
7、【答案】（1），（2）最低电价为元/ .【例7】 我国从1990年至2000年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：年份19901991199219931994199519961997199819992000生产总值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测2010年我国的国内生产总值.【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 由表中数据作出散点图
8、，如右图所示.根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入，得，解得.所以，近似的函数模型为.当x=2010时，y=160209.6，即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.【答案】预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元题型二：二次函数型【例8】 一辆中型客车的营运总利润
9、y（单位：万元）与营运年数x（xN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x年468（万元）7117【考点】二次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 表中已给出了二次函数模型，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则。解得a=1，b=12，c=-25，即。又而取“=”的条件为，即x=5，故选（B）。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。【答案】B【例9】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向
10、前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？刹车时车速v/km/h153040506080刹车距离s/m1.237.3012.218.4025.8044.40【考点】二次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可
11、看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是。（代入其他数据有偏差是许可的）将s=15.13代入得，解得v45.07。所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h【例10】 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费5
12、0元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】二次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】2003年，北京，高考春【解析】 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁
13、公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。【答案】（1）租出了88辆，（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元【例11】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【考点】二次函数型【难度】 3
14、星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)利用二次函数模型，设由已知条件可得方程组：，解得把4月份代入可得(2)用模型2，即指数模型把1，2，3月分别代入可得方程组如下： 解方程组可得：，综上可知用模型好.答：用模型作为模拟函数较好.【答案】用模型作为模拟函数较好【例12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？【考点】二次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 本题的问题求的
15、是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k，则：，设航速为每小时海里使最省，则：航行的总费用为当，即时取最小值.答：当航速满足时，费用最小，其最小值为.【答案】当航速满足时，费用最小，其最小值为【例13】 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=x，q=. 现有资金9万元投入经销甲、
16、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？【考点】二次函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9x万元. 设利润为y万元，. y=， 当=2,即x=4时，ymax=1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.【例14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x70，得n9.4，取n=10。所以到2010年可以收回全部投资款。点评：分段函数是根据实
17、际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。【答案】到2010年可以收回全部投资款【例18】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图210中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图210中（2）的抛物线表示.图210（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102 ，g，时间单位：天）【考点】分段函数型【难度
18、】 3星【题型】解答【关键词】2000年，全国，高考【解析】 （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）（t150）2100，0t300（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）f（t）g（t），即h（t）当0t200时，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，当t50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h（t）（t350）2100，所以，当t300时，h（t）取得区间（200，300上的最大值87.5.综上，由100875可知，h（t）在区间0，300上可以取得最大值100，此
19、时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【答案】（1）f（t）g（t）（t150）2100，0t300（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【例19】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？
20、【考点】分段函数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：当时：即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；当时：此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.答：定价为20元可获日最大利润.【答案】定价为20元可获日最大利润【例20】 中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.具体方案如下：方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）1304806029817
21、006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【考点】分段函数型【难度】
22、3星【题型】解答【关键词】2002年，北京，高中数学知识应用竞赛【解析】 (1)（2）当0t600时，解不等式50+0.4t268，得545t600（tN），当t600时，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600 B. C. D. 【考点】指数、对数型【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】B【例31】 如图,能使不等式成立的自变量的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【考点】指数、对数型【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】D【例32】 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20，则第四年造林（ ）.A. 14400
23、亩 B. 172800亩 C. 17280亩 D. 20736亩【考点】指数、对数型【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】C【例33】 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图象为（ ）【考点】指数、对数型【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】D【例34】 某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）. A. a(1+x)5元 B. a(1+x)6元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元【考点】指数、
24、对数型【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】A【例35】 老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 . 【考点】指数、对数型【难度】 2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】【例36】 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析时，湖
25、水的污染程度如何。【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）设，因为为常数，即，则；（2）设，=因为，。污染越来越严重。点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”【答案】（1），（2）污染越来越严重【例37】 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【
26、解析】 现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为；2小时后，细胞总数为；3小时后，细胞总数为；4小时后，细胞总数为；可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，由，得，两边取以10为底的对数，得， ，. 答：经过46小时，细胞总数超过个。点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。【答案】46小时【例38】 本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且
27、每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）设每年平改坡的百分比为，则，即，解得.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n年，则，即，解得n=5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m年，则 ，即，解得m=15. 所以，今后最多还需平改坡15年. 点评：以房屋改
28、造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.【答案】（1）6.70%，（2）5年，（3）15年【例39】 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y与x的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）1993年底的世界人口数为
29、 ；1994年底的世界人口数为 ；2000年底的世界人口数为 .（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式为 .由66.8， 解得.所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内【答案】（1）1993年底的世界人口数为 ；1994年底的世界人口数为 ；2000年底的世界人口数为 （2）人口的年平均增长率应控制在1.1%以内【例40】 光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.（1）写出关于的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下? ( 【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1） （2） .【答案】（1） （2）11【例41】 1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25，问哪一年我国人口总数将超过14亿？【考点】指数、对数型【难度】 3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设x年后人口总数超过14亿. 由题意得 ，即 .两边取常用对数，得. . 所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.【答案】2008年我们人口总数超过14亿.【例42】 某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每
