1、A组 河北中考题组,1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1= ( ) A.30 B.25 C.20 D.15,答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D.,2.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD.,证明步骤正确的顺序是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=
2、AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B.,3.(2016河北,6,3分)关于ABCD的叙述,正确的是 ( ) A.若ABBC,则ABCD是菱形 B.若ACBD,则ABCD是正方形 C.若AC=BD,则ABCD是矩形 D.若AB=AD,则ABCD是正方形,答案 C 若ABBC,则ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若ACBD,则ABCD是菱形,不一定是正 方形,选项B不正确;若AC=BD,则ABCD是矩形,选项C正确;若AB=AD,则ABCD是菱形,但不一定是正方 形,选项D不正确.,4.(2013河北,11,3分)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC
3、上,MEAD,NFAB.若NF=NM=2,ME=3,则AN= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B 过点M作MGAB,垂足为G, 四边形ABCD为菱形,AC平分DAB, MEAD,MGAB,MG=ME=3. NFAB,MGAB,NFMG, ANFAMG, = , 即 = ,解得AN=4.故选B.,5.(2013河北,12,3分)已知:线段AB,BC,ABC=90.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:,对于两人的作业,下列说法正确的是 ( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对,答案 A 由甲的作法可知AD=BC,AB=CD, 四边形ABCD为
4、平行四边形. ABC=90, 四边形ABCD为矩形, 甲的作业正确.由乙的作法可知AM=CM, 又ABC=90, MB=AM=CM. MD=MB, AM=MB=CM=MD, 四边形ABCD为矩形,乙的作业正确.故选A.,6.(2014河北,23,11分)如图,ABC中,AB=AC,BAC=40,将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到 ADE,连接BD,CE交于点F. (1)求证:ABDACE; (2)求ACE的度数; (3)求证:四边形ABFE是菱形.,解析 (1)证明:如图, 由旋转可知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=100. AB=AC,AD=AE.ABDACE. (4分) (2
5、)AC=AE,CAE=100,2=3=40, 即ACE=40. (7分) (3)证明:1=2=40,ABCE.同样有4=5,则AEBD. 四边形ABFE为平行四边形. (9分) AB=AD,AD=AE,AB=AE. (10分),四边形ABFE为菱形. (11分),思路分析 (1)根据旋转可知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE,由AB=AC得AD=AE,然后利用“边角边”证明 ABD和ACE全等.(2)根据AC=AE,CAE=100,得ACE=AEC=40.(3)根据定义,可得四边形ABFE是 平行四边形,然后依据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得证.,评析 此题考查全等三角形的判定,等腰三
6、角形的性质以及菱形的判定.,考点一 菱形的性质与判定 1.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角 线的长为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.2,B组 20152019年全国中考题组,答案 C 因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角三角形,根据勾 股定理可得,较长对角线长的一半= =2 ,故较长对角线的长为4 ,故选C.,2.(2018湖北孝感,7,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形ABCD的周长为 ( ) A.52 B.48 C.40 D.20
7、,答案 A 在菱形ABCD中,BD=24,AC=10,OB=12,OA=5,ACBD, 在RtABO中,AB= =13,菱形ABCD的周长为4AB=52,故选A.,3.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( ) A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD
8、, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB= = OA,易知OA=EF,AB= EF,故选D.,思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF= AC, EH= BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB= OA,即得AB= EF.,4.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如 图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 .,答案 12,解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解得 所以题图1中菱形的面积为 4
9、6=12.,解题关键 解决本题的关键是要分析题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的.,5.(2016浙江杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰 三角形BDE,则EBC的度数为 .,答案 45或105,解析 根据题意,知点E所在位置有两种可能,在DB的左边或右边,如图. 在菱形ABCD中,A=30, ADC=ABC=150,BD平分ADC,ABC, ADB=ABD=CDB=CBD=75, 又以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角DEB=120, EDB=EBD=30, EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.,6.(
10、2019新疆,19,10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CFBD 交OE的延长线于点F,连接DF. 求证:(1)ODEFCE; (2)四边形OCFD是矩形.,证明 (1)CFBD,DOE=CFE, (1分) E是CD的中点,DE=CE, (2分) 又DEO=CEF, ODEFCE. (4分) (2)ODEFCE,OD=FC, (5分) CFBD,四边形OCFD是平行四边形, (7分) 四边形ABCD是菱形,DOC=90, (9分) 平行四边形OCFD是矩形. (10分),解题关键 本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,
11、平行四边形的判定,熟练掌握菱 形的性质,证明三角形全等是解题的关键.,7.(2018江苏南京,20,8分)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,C=2BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB =OD.求证: (1)BOD=C; (2)四边形OBCD是菱形.,证明 (1)证法一:OA=OB=OD, 点A、B、D在以点O为圆心,OA长为半径的圆上. BOD=2BAD. 又C=2BAD,BOD=C. (4分),证法二:如图,作AO的延长线OE. OA=OB,ABO=BAO. 又BOE=ABO+BAO, BOE=2BAO. 同理DOE=2DAO. BOE+DOE=2BAO+2DAO=2(BAO+
12、DAO), 即BOD=2BAD. 又C=2BAD,BOD=C. (4分) (2)如图,连接OC. OB=OD,CB=CD,OC=OC,OBCODC. BOC=DOC,BCO=DCO. BOD=BOC+DOC,BCD=BCO+DCO, BOC= BOD, BCO= BCD. 又BOD=BCD, BOC=BCO,BO=BC. 又OB=OD,BC=CD, OB=BC=CD=DO.四边形OBCD是菱形. (8分),8.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C 作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边
13、形ABCD是菱形; (2)若AB= ,BD=2,求OE的长.,解析 (1)证明:ABCD, OAB=DCA. AC平分BAD, OAB=DAC, DCA=DAC, CD=AD. 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD为菱形, OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC. BD=2,OB= BD=1.,在RtAOB中,AB= ,OB=1, OA= =2,OE=2.,考点二 矩形的性质与判定 1.(2018甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BEDF且BE与DF之间的距离为3,则AE
14、的长是 ( ) A. B. C. D.,答案 C BEDF,ADBC,四边形BEDF为平行四边形.BE与DF之间的距离为3,S平行四边形BEDF=3BE =DEAB,又AB=3,BE=DE.在RtABE中,BE2=AE2+AB2,则(4-AE)2=AE2+32,解得AE= ,故选C.,2.(2018山东威海,11,3分)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连 接GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH= ( ) A.1 B. C. D.,答案 C 如图,延长GH交AD于点P, 四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,点B,C,E共
15、线, ADBEGF,GFH=PAH, 又H是AF的中点,AH=FH, 在APH和FGH中,APHFGH(ASA),AP=GF=1,GH=PH= PG, PD=AD-AP=1,CG=2,CD=1,DG=1,PG= , 则GH= PG= ,故选C.,3.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使 点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75,答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG 的中线,故A
16、N=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90,所以1 =2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,4.(2019甘肃兰州,16,4分)如图,矩形ABCD,BAC=60,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC 于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则 矩形ABCD的面积等于 .,答案 3,解析 由题意可知AP是BAC的平分线,BAE= BAC=30,在RtABE中,tan 30= = ,而BE=1, AB= ,在RtABC中,tan 60= = ,BC=3,S矩形ABC
17、D=ABBC= 3=3 .,思路分析 首先根据题意可判断出AP是BAC的平分线,然后在RtABE和RtABC中根据正切依次求出 AB和BC,最后求出矩形面积.,5.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF 的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE, CDFAEF, = .E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5. = ,CF= .,6.(2019江西,13(2),4分)如图,四边形ABCD中
18、,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD.求证:四 边形ABCD是矩形.,证明 AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形. OA= AC,OD= BD, 又OA=OD,AC=BD.ABCD是矩形.,7.(2018吉林,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边, 作DEF=A,另一边EF交AC于点F. (1)求证:四边形ADEF为平行四边形; (2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为 ; (3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图.若AD=AG,判断四边形AEGF的形状
19、,并说明 理由.,解析 (1)证明:DEAC,DEF=EFC. DEF=A,A=EFC. EFAB. 四边形ADEF为平行四边形. (2分) (2)菱形. (4分) (3)结论:四边形AEGF为矩形. (5分) 理由:由(1)知,四边形ADEF为平行四边形. AFDE,AD=EF, EG=ED, AFEG. 四边形AEGF是平行四边形. (6分) AD=AG,AG=EF. (7分) 四边形AEGF为矩形. (8分),评分说明:第(3)题,证明过程正确,但前面不先写出结论的不扣分.,思路分析 (1)根据平行四边形的定义进行判定.(2)由D为AB的中点,结合(1)知DE= AC,又AD= AB,D
20、E =AD,平行四边形ADEF为菱形.(3)利用(1)的结论先证明四边形AEGF为平行四边形,再证AG=EF即可.,考点三 正方形的性质与判定 1.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排列,若 A点的坐标为(2, ),则B点与D点的坐标分别为 ( ) A.(-2, ),(2,- ) B.(- ,2),( ,-2) C.(- ,2),(2,- ) D. ,答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E、F.四边形ABCD为正方形,AO= DO,AOD=EOF=90,1=2,AEO=DFO=90,AOEDOF.O
21、F=OE=2,DF=AE= , D( ,-2),点B与点D关于原点对称,B(- ,2),故选B.,思路分析 根据题意画出图形,分别过点A,D作AEx轴,DFy轴,证AOEDOF,根据点A的坐标求出 点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.,2.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60, 则CF的长是 ( ) A. B. C. -1 D.,答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF,BE =DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三
22、角形.设CE=x(0x1),C=90,EF= x, 则AE= x.在RtABE中,12+(1-x)2=( x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x= -1或x=-1- (舍),CF=CE= -1.故 选C.,3.(2018湖北恩施,11,3分)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边的中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E 点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12,答案 D 四边形ABCD为正方形,AB=CD,ABCD, ABFGDF, = =2,AF=2GF=4,AG=6. AB=2DG,G为CD边的中点,AB=2CG,CGA
23、B, CG为EAB的中位线,AE=2AG=12.故选D.,4.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论: SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF.其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 C AB=AD,BAF=DAF,AF=AF, ABFADF,SABF=SADF,正确; 同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点, SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确; ADEC,FAD=FCE,FDA=FEC, 又AFD=CFE,AFDCFE, = = =2
24、, = =22=4, SAFD=4SCFE,不正确; =2, =2,SADF=2SCDF,正确.故选C.,5.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD为边作等边ADE,则BEC的度数是 .,答案 30或150,解析 当点E在正方形ABCD外时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=150,AEB=ABE=15, 同理可得DCE=DEC=15, 则BEC=AED-AEB-DEC=30.,当点E在正方形ABCD内时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=AD=AE,BAD=90,A
25、ED=DAE=60, BAE=30,AEB=ABE=75, 同理可得DCE=DEC=75, 则BEC=360-AED-AEB-DEC=150. 综上,BEC=30或150.,6.(2016天津,17,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上, 且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则 的值等于 .,答案,解析 由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB= AB,DG=GF=GA=AE=BE= AB. S正方形MNPQ=MN2= AB2,S正方形AEFG=AE2= AB2, = = .,7.(2019湖北黄冈,19,6分)如图,A
26、BCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BFAE,DGAE,垂足分别 为F,G.求证:BF-DG=FG.,证明 在ABF和DAG中, BFAE,DGAE, AFB=DGA=90. 又DAG+FAB=DAG+ADG=90, FAB=ADG. 又AB=AD,ABFDAG. BF=AG,AF=DG. BF-DG=AG-AF=FG.,思路分析 由题意可证明ABFDAG,从而得到BF=AG,AF=DG,问题解决.,8.(2018山东潍坊,20,8分)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F, 连接BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知AF=2,四
27、边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.,解析 (1)证明:BAF+DAE=90, ADE+DAE=90, BAF=ADE, (1分) 在RtDEA和RtAFB中, RtDEARtAFB, (2分) AE=BF. (3分) (2)设AE=x(x0),则BF=x, 四边形ABED的面积为24,DE=AF=2, S四边形ABED=SABE+SAED= x2+ 2x=24, (4分) 解得x1=6,x2=-8(舍), (5分),EF=AE-AF=6-2=4, (6分) 在RtEFB中, BE= =2 , (7分) sinEBF= = = . (8分),9.(2016浙江杭州,21,10分)如图,
28、已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同 一条直线上,且AD=3,DE=1.连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H. (1)求sinEAC的值; (2)求线段AH的长.,解析 (1)由题意知EC=2,AE= . 过点E作EMAC于点M, 所以EMC=90,易知ACD=45,所以EMC是等腰直角三角形, 所以EM= ,所以sinEAC= = . (2)在GDC与EDA中, 所以GDCEDA,所以GCD=EAD, 又因为HEC=DEA,所以EHC=EDA=90, 所以AHGC. 因为SAGC= AGDC= GCAH, 所以 43= AH,所以AH= .,
29、评析 本题是正方形与三角形的综合题.涉及等腰直角三角形和三角函数,全等三角形的判定与性质,以及 利用等积法求线段的长度.,考点一 菱形的性质与判定 1.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于 ( ) A. B.4 C.4 D.20,C组 教师专用题组,答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB= = ,由菱形的性质可得AB= AD=CD=CB= , 所以菱形ABCD的周长等于4 ,故选C.,2.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中
30、点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD 的周长为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9,答案 A E是AC的中点,AC=2AE. EFCB, = =2,BC=2EF=6, 菱形ABCD的周长为64=24. 故选A.,3.(2017江苏苏州,10,3分)如图,在菱形ABCD中,A=60,AD=8,F是AB的中点.过点F作FEAD,垂足为E.将 AEF沿点A到点B的方向平移,得到AEF.设P、P分别是EF、EF的中点,当点A与点B重合时,四边形PPCD 的面积为 ( ) A.28 B.24 C.32 D.32 -8,答案 A 如图,分别过E、P、D点作ENAB,PGAB
31、,DHAB,垂足分别为N,G,H,DH交PP于点M. 在菱形ABCD中,AD=8,A=60,F是AB的中点, AF=4=AH,DH=4 , FEAD,AEF=90. AE=2,EN= ,PGAB,ENAB,PGEN, 又P是EF的中点,PG= EN= . 将AEF平移得到AEF, PPAB,PPDC, 四边形PPCD是平行四边形, DM=DH-PG= . S四边形PPCD=8 =28 . 故选A.,解题关键 本题有一定的难度,考查了平移、菱形的性质,以及三角形中位线的运用,在解题的过程中应用 特殊角的三角函数值求线段的长度是解决本题的关键.,4.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD
32、中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以 点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .,答案 2 -2,解析 当等腰PBC以PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧 上.连接AC、BD相交于点O. 若使PD最短,则点P在如图所示的位置处. 四边形ABCD是菱形, ACBD,ABO= ABC=30, BO=ABcos 30= ,BD=2BO=2 , PB=BC=2,PD=BD-PB=2 -2.,当等腰三角形PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2. 当等腰三角形PBC以
33、BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE 上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2. 2 -22, PD的最小值是2 -2.,评析 本题考查菱形、等腰三角形的性质、圆、中垂线,运用了分类讨论思想,综合性较强,属于难题.,5.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G= ,求AO的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. B
34、E=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为菱形, AO=OC,OD= BD,ACBD. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4, OD=2.,在RtCOD中,tanCDO=tan G= ,可得OC=1. AO=1.,6.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EF CD于点F. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若AB=6,BC=10,求EF的长.,解析 (1)证明:ADBC,AEDC, 四边形AECD是平行四边形. BAC=90,E是BC的中点,AE=CE= BC, 四边形AECD是菱
35、形. (5分) (2)过点A作AHBC于点H, BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8,SABC= BCAH= ABAC,AH= . 点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,CD=CE=5. SAECD=CEAH=CDEF,EF=AH= . (10分),思路分析 (1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证四边 形AECD是菱形.(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公式求出 EF.,考点二 矩形的性质与判定 1.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作
36、BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的长度为 ( ) A.1 B.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OBtan 30=1, FC=1,故选A.,2.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A
37、到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 .,答案,解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD= ABtan 30= .当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在 DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30, = = ,又 FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨迹 为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1= .,3.(2018上海
38、,18,4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该 图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方 向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的 ,那么它的 宽的值是 .,答案,解析 在菱形上建立如图所示的矩形AECF,设AF=x,则CF= x, 在RtCBF中,CB=1,BF=x-1, 由勾股定理得BC2=BF2+CF2, 即12=(x-1)2+ ,解得x= 或x=0(舍), 即它的宽的值是 .,4.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC
39、,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE折 叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的三等分点时,BE的长为 .,答案 或,解析 ADBC,ABBC,MNAD, 四边形ABNM为矩形, MN=AB=3,B为线段MN的三等分点,BM=1或2, ABE=ABC=90,ABM+EBN=90. EBN+BEN=90,ABM=BEN. 又AMB=ENB=90, AMBBNE, = ,设BE=BE=x. 当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM= = =2 , = ,即x= ; 当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM= = = ,
40、 = ,即x= . 综上所述,BE的长为 或 .,5.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形. (1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO. (2分) AO=OD. (3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形. (4分) (2)设AOB=4x,ODC
41、=3x,则OCD=ODC=3x. (5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18. (6分) ODC=318=54. (7分),ADO=90-ODC=90-54=36. (8分),名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和.,6.(2018辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC 的平行线,两直线相交于点E. (1)求证:四边形OCED是矩形; (2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是
42、.,解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, ACBD,COD=90, CEOD,DEOC, 四边形OCED是平行四边形, COD=90, 平行四边形OCED是矩形. (2)4.,思路分析 (1)根据菱形对角线互相垂直可得COD=90,根据平行四边形及矩形的定义可证. (2)根据平行四边形对边相等,可得OC=2,OD=1;根据菱形对角线互相垂直平分,可得BO=1,AO=2,可求四个 直角三角形的面积均为1,菱形ABCD的面积为4.,考点三 正方形的性质与判定 1.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满 足PE+P
43、F=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8,答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交E1 E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方形, 易求OE=EM=ME1=2 ,OF=OE=2 ,OE1=6 ,由勾股定理可得EF1=E1F= = 9,在 AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有8个这样的 P点,故选D.,2.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是
44、边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE= ,EAF=135,则以下结论正确的是 ( ) A.DE=1 B.tanAFO= C.AF= D.四边形AFCE的面积为,答案 C 四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD互相垂直平分且相等,AO=OD= ,在 RtAOE中,OE= = ,DE=OE-OD= ,A选项错误;易知ADO=45,ADE=135, ADE=EAF,又AED=FEA,DAEAFE, = = = ,AF= ,C选项正确;在Rt AOF中,OF= = ,tanAFO= = ,B选项错误;EF=OF+OE= ,四边形AFCE的面 积= EFAC= = ,D选项
45、错误.故选C.,3.(2019内蒙古呼和浩特,15,3分)已知正方形ABCD的面积是2,E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上 的一点.若CE= ,连接AE,与正方形另外一边CD交于点F,连接BF并延长,与线段DE交于点G,则BG的长为 .,答案,解析 如图,延长BG,AD交于点Q.正方形ABCD的面积为2,边长为 ,AQBC,CFAB. CE=BC= ,CF=DF= AB,易证DQFCBF,DQGEBG,DQ=BC= ,在RtABQ中,由勾 股定理得BQ= = . = , = ,BG= .,4.(2018山东青岛,12,3分)已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于 点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是正方形,BAD=D=90,AB=AD. 又AE=
