1、一、九章算术与正负数 中国古代著名的数学专著九章算术(成书于公元一世纪)中,其作者已不可考,一般认为它是经历代名家的增补修订而逐渐成为现今定本的,书中最早提出了正负数加减法的法则:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”“相除”就是两数的绝对值“相加”“相减”,“无”就是“零”. 1.(2017四川成都,1,3分)九章算术中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其 意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10 记作+10 ,则-3 表示气温为 ( ),A.零上3 B.
2、零下3 C.零上7 D.零下7 ,答案 B 由题意知,“-”代表气温为零下,所以-3 表示气温为零下3 ,故选B.,2.(2017江西,9,3分)中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小 棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图,根据刘徽的这种表示法,观察图,可推算图中所 得的数值为 .,答案 -3,解析 根据题意可得,题图中所得的数值为(+2)+(-5)=-3.,二、古代数学著作与方程 九章算术中收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、 术(解题的步骤),其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,书中还有
3、专门以“方程”命名的一章. 孙子算经是中国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,作者生平和编写年不详. 算法统宗全称新编直指算法统宗,是一部应用数学书,也是中国古代数学名著,明代数学家程大位 (15331606)著.,答案 A 设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意得3x+ =100,解得x=25,则100-x=100-25=75, 所以大和尚25人,小和尚75人,故选A.,4.(2018浙江绍兴,12,5分)我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子 长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为 尺,竿子长为 尺.,答案 20;
4、15,解析 设索长为x尺,竿子长为y尺, 根据题意得 解方程组得 答:索长为20尺,竿子长为15尺.,5.(2018湖北宜昌,19,7分)我国古代数学著作九章算术中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三 斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以 盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,1个大桶、1个小桶分别可以盛酒 多少斛?请解答.,解析 设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛, 则 解方程组得 答:1个大桶可以盛酒 斛,1个小桶可以盛酒 斛.,6.(2018安徽,16,8分)孙子算经中有这样
5、一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何? 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人 家?,解析 设城中有x户人家,根据题意得, x+ =100, 解得x=75. 答:城中有75户人家.,三、赵爽与勾股定理 公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”,在周髀算经中有记载,根据该典 故勾股定理也称商高定理.公元三世纪,三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理做出了详细注释, 九章算术中以“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”表述,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”(也称赵爽弦 图),用数形
6、结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.,7.(2018四川泸州,8,3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长 直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ( ) A.9 B.6 C.4 D.3,答案 D 设直角三角形斜边的长为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,大正方形的面积为25,c2=25,即a2+b2=2 5.ab=8,(a-b)2=a2+b2-2ab=25-28=9,a-b=3,小正方形的边长为3.故选D.,8.
7、(2018内蒙古通辽,14,3分)如图所示的图案是3世纪我国三国时代数学家赵爽在注解周髀算经时给出 的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=3,BE=2,若向正方形ABCD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABCD 内,且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率为 .,答案,解析 由题图可知,正方形EFGH的边长为AE-AH=AE-BE=3-2=1,正方形ABCD的边长为 = , 恰好落在正方形EFGH内的概率为 = .,9.图是我国三国时期的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如 图,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,A
8、BF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角 三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为 .,答案 10,解析 四边形EFGH为正方形,EH=EF=2, 又DE=8,DH=6, DHCBFAAED, AF=DE=8,BF=DH=6, AB= = =10.,四、刘徽与割圆术 刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上一个伟大的数学家,在世界数学史上,也占有杰出的地位,他 的杰作九章算术注和海岛算经,是我国最宝贵的数学遗产,刘徽在几何方面提出了“割圆术”,即 将圆周用内接或外切正方形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法,他利用割圆术科学地求出了圆周率=3. 141 024的近似结果,他在割圆术中提出
9、的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无 所失矣”,可视为中国古代极限观念的佳作.,10.(2018四川宜宾,13,3分)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在九章算术中提出了“割圆术”,即 用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设O的半径为1,若用O的外切正六边形的面 积S来近似估计O的面积,则S= .(结果保留根号).,答案 2,解析 如图,易证AOB为等边三角形,则OAB=60. 设G为正六边形ABCDEF与O的切点, 则OGAB,在RtOAG中,AG= = = , S=12SAOG=12 AGGO=12 1=2 .,11.(2017湖南岳阳,15,4分)
10、我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增 加时,周长就越接近圆周长,由此求得圆周率的近似值.设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为 d,如图所示,当n=6时, = =3,那么当n=12时, . (结果精确到0.01,参考数据:sin 15=cos 750.259),答案 3.11,解析 圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形,其顶角为30, 即AOB=30,作OHAB于点H, 则AOH=15, 在RtAOH中,sinAOH= , 即sin 15= , AH=rsin 15, 则AB=2AH=2rsin 15, L=122rsin 15=2
11、4rsin 15, 又d=2r, = 120.2593.11.,五、古代数学著作与几何类实际问题,12.(2018浙江温州,10,4分)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个 正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如 图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为 ( ) A.20 B.24 C. D.,答案 B 如图,设小正方形的边长为x(x0), a=3,b=4,AB=3+4=7, 在RtABC中,AC2+BC2=AB2, 即(3+x)2+(x+4)2=72, 整理得x2+7x-12
12、=0, 解得x= 或x= (舍去), 该矩形的面积= =24. 故选B.,13.(2018四川乐山,7,3分)九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成 就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯 之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯木料,锯 口深一寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识 计算:圆形木材的直径AC是 ( ) A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸,答案 C ED=1寸,
13、OD=OE-1=(OA-1)寸, AB=10寸,AD=5寸, 在RtAOD中,由勾股定理得OD2+AD2=OA2, 即(OA-1)2+52=OA2, 解得OA=13寸, AC=26寸.故选C.,14.(2018吉林长春,6,3分)孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣: 今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道 有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1 尺=10寸),则竹竿的长为 ( ) A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺,答案 B
14、设竹竿的长度为x尺,竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长=五寸 =0.5尺,根据题意有 = ,解得x=45,竹竿的长为45尺,即四丈五尺.故选B.,15.(2018山东泰安,18,3分)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题: “今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?” 用今天的话说,大意是:如图, DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED 的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上).请你计 算KC的长为 步.,答案,解析 由题意,可得RtCDKRtDAH,则 = ,又DH= DG=100步,KD= DE=100步,AH=15步, = ,解得KC= 步.,
