1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线 l 的方程是 ，则直线 l 的倾斜角为（）A1B-1C45D1352如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为（）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D3已知两平面的法向量分别为 ，则两平面所成的二面角为（）A45B135C45或 135D904已知 ，若 四点共面，则实数 （）A5B6C7D85过椭圆 左焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 P，Q 两点，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，且 ，则该椭圆的离心率是（）ABCD6已知直线 过点 ，则（）ABCD7正方体 的棱长为 2，E，F，G，H 分别为
2、，AD，的中点，则过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面的面积为（）AB2CD48点 是直线 上任意一点，是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点（）A 和 B 和 C 和 D 和 二、多选题二、多选题9椭圆 C 的方程为 ，焦点为 ，则下列说法正确的是（）A椭圆 C 的焦距为 3B椭圆 C 的长轴长为 10C椭圆 C 的离心率为 D椭圆 C 上存在点 P，使得 为直角10已知直线 l 的一个方向向量为 ，且 l 经过点 ，则下列结论中正确的是（）Al 的倾斜角等于 150Bl 在 x 轴上的截距等于 Cl 与直线 平行Dl 上存在与原点距离等于 2 的点11已知双曲线 ，右顶点为 ，
3、以 为圆心，为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ，两点，若 ，则有（）A渐近线方程为 BCD渐近线方程为 12如图，已知正方体 的棱长为 2，点 E，F 在四边形 所在的平面内，若 ，则下述结论正确的是（）A点 E 的轨迹是一个圆B点 F 的轨迹是一个圆C 的最小值为 D直线 DF 与平面 ABD 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题三、填空题13已知向量 ，则 14已知双曲线 x2-y2=1，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 P F1PF2，则P F1+P F2的值为 .15设方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .16如图，光线从 出发
4、，经过直线 l：反射到 ，该光线又在 Q 点被 x轴反射，若反射光线恰与直线 l 平行，且 ，则实数 a 的最小值是 四、解答题四、解答题17已知直线 l 经过点 （1）若原点到直线 l 的距离为 2，求直线 l 的方程：（2）若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程18已知两个定点 ，如果动点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程；（2）若直线 l：落在点 P 的轨迹与圆 之间（没有公共点），求实数 b 的取值范围 19已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 ，过点 及作斜率不为零的直线交椭圆 C于 M，N 两点 （1）求 的周长；（2）若 ，求线段 的长度 20在正四棱锥 P-AB
5、CD 中，侧棱长为 4，底面边长为 ，M，N，E 分别为 PA，BC，PB 的中点 （1）证明：平面 BDM；（2）求点 N 到直线 PD 的距离21已知直三棱柱 中，E，F 分别为 AC 和 的中点，D 为棱 上的点，（1）证明：；（2）若 D 为 中点，求平面 与平面 DFE 所成锐角的余弦值 22已知椭圆 的焦距为 2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点 在椭圆上 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 l 的方程为 ，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线 MO 交 l 于点 P，过点 O 与 AB 平行的直线交/于点 Q，直线 PF 交直线 OQ 于点 R，直线 QF
6、 交直线 MO 于点 S 证明：O，S，F，R 四点共圆；记QRF 的面积为 ，QSO 的面积为 ，求 的取值范围答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】因为直线 l 的方程是 ，所以直线的斜率为-1，设直线 l 的倾斜角为 ，则 ，因为 ，所以 ，故答案为：D【分析】首先由直线的方程求出斜率的值，再由斜率公式结合角的取值范围即可求出倾斜角的大小。2【答案】D【解析】【解答】由于抛物线的准线是直线 ，所以它的焦点为 .故答案为：D【分析】由抛物线的方程，结合抛物线的简单性质即可求出准线的方程以及焦点的坐标。3【答案】C【解析】【解答】，即 .两平面所成二面角为 或 .故答案为：C.
7、【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出夹角的大小，结合二面角的定义即可得出答案。4【答案】D【解析】【解答】若 四点共面，则存在实数 使得 成立，则 解得 故答案为：D【分析】根据题意由四点共面的性质，结合向量线性运算的坐标公式，整理由此即可求出的值。5【答案】A【解析】【解答】由题意得：，因为 ，所以 ，即 ，即 ，即 ，解得 ，故答案为：A【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及定义，整理即可得到，再由离心率公式结合整体思想得出关于 e 的方程，求解出 e 的值即可。6【答案】D【解析】【解答】由 可得点 在单位圆 上，所以直线 和圆 有公共点.所以圆心 到直线 的距离 ，即得到
8、 .故答案为：D【分析】首先把点的坐标代入到直线的方程，整理即可得到点 M 在直线上，然后由点到直线的距离公式结合已知条件，整理即可得到，从而即可得出答案。7【答案】C【解析】【解答】解：取 中点为 M，连接 ME、MF，取 CD、CB 中点分别为 P、Q，连接 QH、PQ、QG，在正方体 中，由题意四边形 PQGH 为矩形，且 ME GH，MF QG，因为 ME 平面 PQGH，MF 平面 PQGH，GH 平面 PQGH，QG 平面 PQGH，所以 ME 平面 PQGH，MF 平面 PQGH，又 ME MF=M，所以平面 MEF 平面 PQGH，因为 EF 平面 MEF，所以 EF 平面 P
9、QGH，所以过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面为矩形 PQGH，因为正方体 的棱长为 2，所以 ，所以矩形 PQGH 的面积为 ，所以过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面的面积为 ，故答案为：C.【分析】根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由正方体的几何性质以及线面平行的性质和判定定理即可得出过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面为矩形 PQGH，由矩形的几何性质代入数值计算出截面的面积即可。8【答案】D【解析】【解答】设点 ，则线段 的中点为 ，圆 的半径为 ，所以，以 为直径为圆的方程为 ，即 ，即 ，由 ，解得 或 ，因此，以
10、为直径的圆经过定点坐标为 、.故答案为：D.【分析】根据题意设出点的坐标，由此即可得出中点的坐标，结合两点间的距离公式计算出圆的半径，由此即可得出圆的方程，整理化为一般式，由此即可得出，从而得到方程，求解出点的坐标由此即可得出答案。9【答案】B,C【解析】【解答】由题意，椭圆的焦距为 ，A 不符合题意；椭圆的长轴长为 ，B 符合题意；椭圆的离心率 ，C 符合题意；当点 P 为上顶点或者下顶点时，最大，此时 又 为锐角，可得 ，故 ，因此椭圆 C 上不存在点 P，使得 为直角，D 不符合题意故答案为：BC【分析】首先由椭圆的标准方程求出 a、b 的值，结合椭圆的简单性质，对选项逐一判断即可得出答
11、案。10【答案】A,C,D【解析】【解答】因为直线 的一个方向向量为 ，所以直线 的斜率为 ，设直线的倾斜角为 （），则 ，所以 所以 A 符合题意；因为 经过点 ，所以直线 的方程为 ，即 ，令 ，则 ，所以 在 轴上的截距为 ，所以 B 不符合题意；因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，所以 与直线 平行，所以 C 符合题意；因为原点到直线 的距离为 ，所以 上存在与原点距离等于 2 的点，所以 D 符合题意.故答案为：ACD【分析】根据题意直接利用直线的方程，直线的方向向量，由两直线平行和垂直的充要条件，结合点到直线的距离公式，对选项逐一判断即可得出答案。11【答案】A,C【解析】【解
12、答】双曲线 C：1（a0，b0）的右顶点为 A（a，0），以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若MAN60，可得 A 到渐近线 bx+ay0 的距离为：bcos30 ，可得：，即 ，故 e 且 ，故渐近线方程为渐近线方程为 故答案为：AC【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可12【答案】A,C【解析】【解答】对于 A：，即 ，所以 ，即点 E 在以 为圆心、半径为 1 的圆上；A 符合题意；对于 B：正方体 中，ACBD，又 ，且 BDDF=D，所以 ，所以点 F 在 所在
13、直线上 B 不符合题意；对于 C：在平面 内，到直线 的距离为 当点 ，落在 上时，；C 符合题意；对于 D：建立如图示的坐标系，则 因为点 F 为在面 内，可设 所以 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以 ，又易知平面 的一个法向量为 ，设 与平面 所成角为，则：，因为 ，所以当 时，D 不符合题意；故答案为：AC【分析】根据圆的定义判断出选项 A 正确；根据圆的定义判断出选项 B 错误；由正方体的几何性质结合点到直线的距离公式，整理即可得到 当点 ，落在 上时，取得最小值，由此判断出选项 C正确；根据题意结论空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，由数量积的坐标公式计算出，从而得出，由
14、此即可求出平面的法向量，结合数量积的坐标公式代入计算出 与平面 所成角的最小值，结合正弦函数的性质即可求出最大值，由此即可判断出选项 D 错误，从而得出答案。13【答案】1【解析】【解答】由题意，解得 故 故答案为：1【分析】根据题意由空间向量模的定义，代入数值计算出结果即可。14【答案】【解析】【解答】解：PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2双曲线方程为 x2y2=1，a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得 F1F2=2|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又P 为双曲线 x2y2=1 上一点，|PF1|PF2|=2a=2，（|PF1|PF2|）2=4因此（|
15、PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）（|PF1|PF2|）2=12|PF1|+|PF2|的值为 故答案为【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义，整理化简计算出 F1F2=2 即即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8，结合题意由此计算出|PF1|+|PF2|的值即可。15【答案】0k1【解析】【解答】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而推出，进而得出实数 k 的取值范围为 0k1。【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置的判断方法，从而求出实数 k 的取值范围。16【答案】10【解析】【解答】设点 关于直线 的对称点 ，则 ，解得 ，即 ，因为在
16、Q 点被 x 轴反射后反射光线恰与直线 l 平行，所以 ，即 ，化简，得 ，因为 ，所以 ，即实数 a 的最小值是 10.故答案为：10.【分析】根据题意作 P 关于直线 l 的对称点，p 关于 x 轴的对称点为 p，由点 p必在第二次的反射光线所在直线上，代入可求得，从而可得 a 的取值范围，从而求出 a 的最大值。17【答案】（1）解：当斜率不存在时，l：，符合题意；当斜率存在时，设 l：，即 ，解得：，l：或 .（2）若直线过原点，设直线方程为 ，因为直线 l 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，若直线不过原点，设直线方程为 ，因为直线 l 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，直线 l：
17、或 .【解析】【分析】(1)根据题意对斜率分情况讨论，然后由点斜式设出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出 k 的取值，从而得出直线的方程。(2)根据题意分情况讨论，经过原点和没有经过原点，由此设出直线的方程，再把点的坐标代入计算出 k 的取值，从而得出直线的方程即可。18【答案】（1）设 ，因为 ，所以 化简得：；（2）当 l 与 相切时，由圆心到直线的距离等于半径得：，解得 ，当 l 与圆 相切时，由圆心到直线的距离等于半径得：，因为直线 l：在点 P 的轨迹和圆 之间，所以实数 .【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，结合已知条件由两点间的距离公式，整理即可得到点 P的轨迹方程。(
18、2)根据题意由点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离由此求解出 b 的取值，然后由直线与圆的位置关系，结合题意即可得到 b 的取值范围。19【答案】（1）解：由椭圆的定义得：，所以 的周长为 .（2）由题意得 ，直线 MN 的倾斜角为 或 ，不妨直线 MN 的方程为 ，与椭圆方程联立可得：，设 ，则有 .所以弦长【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的定义，结合三角形的周长，计算出结果即可。(2)首先由点斜式求出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于 x 的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积，然后由弦长公式代入计算出答案即可。20【答案】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则
19、，所以 ，设平面 的 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，而 ，所以 ，因为 平面 ，平面 ；（2）解：，所以 ，所以 即点 N 到直线 PD 的距离为 ；【解析】【分析】(1)根据题意建立可空间直角坐标系由此求出各个点以及向量的坐标，由此即可求出平面的法向量，结合数量积的坐标公式代入计算出，从而即可得到结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论求出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出的值，然后由距离公式计算出结果即可。21【答案】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ABC，所以 因为 ，所以 ，又 ，所以 平面 所以 BA，BC，两两垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC
20、，所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所以 ，由题设 因为 ，所以 ，所以 （2）因为 D 为 中点，则 因为 平面 ，所以面 的法向量为 而 ，设面 DEF 的法向量为 ，即 解得 ，所以平面 与平面 DFE 所成锐角的余弦值 .【解析】【分析】(1)根据题意建立空间坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出，从而得证出。(2)由(1)的结论，求出平面 DEF 和的法向量，然后由数量积的夹角公式，代入数值计算出结果即可。22【答案】（1）设椭圆的左焦点为 ，由题意可知 ，根据定义，可求得 ，椭圆的标准方程为（2）设 ，直线 AB 的斜率为 k，则有
21、，作差得：两边同除 ，可得：，即 ，所以直线 MO 的斜率为 ，MO 的方程为 所以 ，所以直线 PF 的斜率为 ，因为 ，所以 由 可求得 ，所以直线 QF 的斜率为 ，因为 ，所以 综上，O，S，F，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径.由可知：，所以 ，由于直线 PF 的方程为 ，直线 OP 的方程为 ，由垂径定理可知，又因为 ，所以 ，综上，的取值范围为 .【解析】【分析】(1)根据题意即可求出焦点的坐标，结合椭圆的定义即可求出 a 的值，再由椭圆里 a、b、c 的关系计算出 b 的取值，由此即可得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标由设而不求法，把点的坐标代入椭圆的方程由点差法结合中点的坐标即可求出斜率的值，由此得出直线的方程，然后由直线垂直的斜率公式计算出，由此即可得证出结论。由的结论即可得出三角形相似，结合三角形的面积公式整理即可得到，然后由已知条件结合垂径定理，整理得到，从而即可得出答案。
