2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册PPT课件（全册打包）.rar.

2021通 过 学 习 本 节 内 容,能 从 具 体 到 抽 象 理 解 相 关 数 学 概 念,逐 步 形 成 数 学 抽 象 的 数学 素 养.学 习 时 还 应 注 意 以 下 几 点:通 过 实 例,了 解 集 合 的 含 义,理 解 集 合 与 元 素 之 间 的 关 系.针 对 具 体 问 题,能 在 自 然 语 言 和 图 形 语 言 的 基 础 上,用 符 号 语 言 刻 画 集 合.在 具 体 情 境 中,掌 握 集 合 中 元 素 的 三 个 特 性.1.1 集 合 的 概 念1.元素:一般地,把 研究对象 统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,表示.3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.4.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.1|元素与集合的概念2|元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合AaAa不属于集合A3|常用数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR1.列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法(1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x),这种表示集合的方法称为描述法.(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4|集合的表示方法根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集.有限集:集合中元素的个数是有限的.无限集:集合中元素的个数是无限的.5|集合的分类1.中央电视台著名节目主持人可以组成一个集合.()2.元素a,b,c与元素c,b,a组成的集合相等.()3.0N,但0N*.()4.数1,0,5,组成的集合中有5个元素.()5.集合(1,2)中的元素是1和2.()提示:集合(1,2)中的元素是(1,2).6.集合xR|x0与xQ|x0相等.()提示:代表元素的取值范围不一致,前者xR,后者xQ,所以两个集合不相等.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|集合中元素的特性(1)确定性对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.(2)互异性对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个元素.(3)无序性对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都是可以交换顺序的.(2020江苏南通高一第一次质量检测)若1x,x2,则x=(B)A.1B.-1 C.0或1D.0或1或-1解析若1x,x2,则必有x=1或x2=1.当x=1时,x2=1,不符合集合中元素的互异性,舍去;当x2=1时,解得x=-1或x=1(舍去),当x=-1时,x2=1,符合题意.综上可得,x=-1.故选B.2|集合的表示给出下列三个集合:A=x|y=x2+1;B=y|y=x2+1;C=(x,y)|y=x2+1.问题1.它们是不是相同的集合?提示:由于三个集合的代表元素互不相同,因此它们是互不相同的集合.2.它们各自的含义是什么?提示:集合A表示数集R;集合B表示数集y|y1;集合C表示坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.列举法和描述法各有优缺点,应根据具体问题进行选择,一般遵循最简原则.当集合中元素较多或有无限个时,不宜采用列举法.1.用列举法表示集合时需注意:(1)元素个数少且有限时,可全部列举出来,如1,2,3,4;(2)元素个数多且有限时,若可以按某种规律排列,则可以列举部分元素,中间用省略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为1,2,3,1 000;(3)元素个数无限但有规律时,也可以用省略号列举,如自然数集N可以表示为0,1,2,3,.2.用描述法表示集合时应注意以下几点:(1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等;(2)说明该集合中元素所具有的共同特征;(3)不能出现未经说明的字母;(4)所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述内容的语言要力求简洁、准确;(5)“”有“所有”“全体”的含义,因此自然数集可以表示为x|x为自然数或N,但不能表示为x|x为所有自然数或N.用适当的方法表示下列集合:(1)被3除余2的整数组成的集合;(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集;(3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合;(4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;(5)已知集合A=,用列举法表示集合A.思路点拨(1)类比奇数集x|x=2k+1,kZ的表示.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)联立直线方程,求出交点后用集合表示.(4)结合平面直角坐标系第二象限内点的坐标的符号特征表示.(5)结合集合A中元素满足的共同特征写出的可能取值,进而用列举法表示.解析(1)被3除余2的整数可以表示为3k+2,kZ,用集合表示为x|x=3k+2,kZ.(2)解方程(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=,用集合表示为-1,-,.(3)联立解得故两直线的交点为(1,0),用集合表示为(1,0).(4)用有序实数对(x,y)作为代表元素,用描述法表示此集合为(x,y)|x0.(5)N,则8-x可取的值有1,2,4,8,16,x的可能值有7,6,4,0,-8,又xN,x可取7,6,4,0,可取2,4,8,16,A=2,4,8,16.3|集合中参数问题的解法求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论.1.对参数进行准确的逻辑划分.如在研究方程ax+b=0时,若a0,则此方程是一元一次方程,按一元一次方程求解即可;若a=0,则此方程不是一元一次方程,此时看b是不是0.2.求参数值的问题,先利用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后用集合中元素的互异性检验参数的值是否符合题意.解题时要注意:(1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在:给出的对象属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;给出的两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.3.求参数的取值范围问题先利用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数的取值范围,最后用集合中元素的互异性检验参数的取值范围是否符合题意.已知集合A=x|ax2-3x+2=0,xR.(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值,并写出该元素;(2)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.思路点拨先考虑最高次项系数是不是0,即先判断该方程是一元一次方程,还是一元二次方程,若为一元一次方程,直接求解即可;若为一元二次方程,则需求判别式,从而确定根的个数.解析(1)若a=0,则方程为一元一次方程,它有唯一解x=,符合题意;若a0,因为A中只有一个元素,所以方程有两个相等的实数根.由=(-3)2-8a=0,得a=,此时集合A中只有一个元素.综上所述,当a=0时,集合A中只有一个元素;当a=时,集合A中只有一个元素.(2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素,或A中没有元素.当即a时,方程ax2-3x+2=0无解,满足题意.结合(1)可知,实数a的取值范围是.题组一集合的概念与元素的特性1.(2021四川成都第七中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是()A.不超过20的质数B.的近似值C.方程x2=1的实数根D.函数y=x2,xR的最小值2.已知集合S中的三个元素a,b,c是ABC的三条边长,那么ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.(多选)下面四个说法错误的是()A.10以内的质数组成的集合是2,3,5,7B.由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,1,2C.方程x2-2x+1=0的解集是1,1D.0与0表示同一个集合BDCDDCB1.2集合间的基本关系1|子集、集合相等、真子集概念图示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”)任何一个集合是它本身的子集,即AA;对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC概念图示性质集合相等一般地,如果集合A的任何一元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作ABAB,且BAA=B;A=B,且B=C,则A=C真子集如果集合AB,但存在元素xB,且xA,就称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)AB,且BC,则AC;AB,且AB,则AB续表2|空集定义不含任何元素的集合叫做空集符号 规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.3|Venn图0,0,之间的关系(1)不含任何元素,所以0不是它的元素.(2)0表示只含有一个元素0的集合,所以00.(3)并不是空集,中有一个元素,这个元素就是,即.又因为是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以.判断下列集合的关系:(1)A=1,2,3,B=x|(x-1)(x-2)(x-3)=0;(2)A=x|02x-11,B=x|13x+14;(3)A=x|x是文学作品,B=x|x是散文,C=x|x是叙事散文;(4)M=x x=m+,m Z,N=xx=-,nZ,P=xx=+,kZ.思路点拨(1)先确定集合B中的元素,再与集合A中的元素对比.(2)先确定集合A,B,再用数轴表示,即可得结果.(3)利用Venn图表示集合A,B,C间的关系,即可得结果.(4)先分析集合M,N,P的元素特征(也可用列举法),再判断集合M,N,P的关系.解析(1)B=x|(x-1)(x-2)(x-3)=0=1,2,3=A.(2)A=x|02x-11=,B=x|13x+14=x|0 x2.3.在问题2中,将条件改为“BA”,又如何求a的取值范围?提示:若BA,画出数轴:则由数轴可知1a2.根据集合间的关系,求参数的值或取值范围的方法1.若集合是用列举法表示的,则根据集合间的关系,转化为方程(组)求解,同时注意考虑元素的互异性;若集合是用不等式描述的,则利用数轴转化为不等式(组)求解,同时还要注意验证端点值的取舍.2.涉及“AB”或“AB”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视.求满足下列条件的实数a的值或取值范围:(1)已知集合M=a-3,2a-1,a2+1,N=-2,4a-3,3a-1,M=N;(2)已知集合M=x|ax+2=0,N=x|x2-5x+6=0,MN;(3)已知集合M=x|-3x4,N=x|2a-1xa+3,NM;(4)(2020山东济宁高一上期中)已知集合M=x|x2-3x+2=0,N=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,NM.思路点拨分别根据集合间的关系列出关系式,求出a的值或取值范围.3|探究已知集合的子集个数如果一个集合有n(nN*)个元素,那么如何研究它的子集个数?问题1.已知集合A=a,b,c,集合A有几个子集?提示:集合A有8个子集.2.已知集合A=a,b,c,如何写出集合A的所有子集?提示:对于有限集的子集,通常按子集中元素个数的多少及集合中元素的先后顺序来写.3.已知集合A=a,b,c,集合A的真子集有几个?非空真子集有几个?提示:集合A的真子集有23-1=7个,非空真子集有23-2=6个.1.假设集合A中含有n(nN*)个元素,则:(1)A的子集个数是2n;(2)A的非空子集个数是2n-1;(3)A的真子集个数是2n-1;(4)A的非空真子集个数是2n-2.2.设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,nN*,mn),且ACB,则符合条件的有限集C的个数为2n-m.3.求给定集合的子集的两个注意点:(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意空集和集合本身也是该集合的子集.已知集合A=2,4,6,8,9,B=1,2,3,5,8,存在非空集合C,使C中每个元素都加上2就变成了A的一个子集,且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集,则集合C 的个数是多少?解析假设存在满足条件的集合C,则C,将A中元素都减2得0,2,4,6,7,B中元素都加2得3,4,5,7,10,于是C0,2,4,6,7,且C3,4,5,7,10.注意到两个集合的共同元素构成的集合为4,7,故非空集合C是4,7的子集,即C=4,7或C=4或C=7,故集合C的个数为3.题组一子集、真子集和空集1.(2021重庆巴蜀中学高一上月考)已知集合A=0,1,则集合A的子集个数是()A.1B.2C.3D.42.下列四个集合中,是空集的是()A.x|x+3=3B.(x,y)|y2=-x2,x,yRC.x|x20D.x|x2-x+1=0,xR3.(2020广东实验中学高二开学摸底考试)下列六个关系式:a,bb,a;a,b=b,a;0=;00;0;0,其中正确的个数为()A.6B.5 C.4D.34.若集合S=x|x=3n+1,nN,T=x|x=3k-2,kZ,则()A.STB.TSC.S=TD.ST5.(2020四川乐山高一上期末)已知集合U=R,则正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2-x=0关系的Venn图是()6.(多选)下列说法中,正确的是()A.空集是任何集合的真子集B.若AB,BC,则ACC.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.若不属于B的元素一定不属于A,则AB7.(2020河南郑州高一上期末)已知集合M满足3,4M3,4,5,6,则满足条件的集合M有个.题组二集合相等及其应用8.已知集合A=,B=,C=,则下列结论正确的是()A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C9.(2020贵州兴仁凤凰中学高一月考)若5,a+4=a,b,则a+b=.10.已知集合A=,B=xx=k,kZ,则集合A,B之间的关系为.题组三由集合间的关系解决参数问题11.(2020四川绵阳中学高一上月考)已知集合A=1,3,B=1,m,BA,则m=()A.0或3B.0或1C.1 D.312.已知x|x2-x+a=0,则实数a的取值范围是()A.a13.(2021安徽安庆高一上检测)已知集合A=x|x3或x1,B=x|x-a3B.a3C.a1 D.a114.(2020山西忻州第一中学高一上期中)已知M=2,a,b,N=2a,2,b2,若M=N,求a与b的值.15.(2020河北石家庄第二中学高一上期中)设集合A=x|x2-8x+15=0,B=x|ax-1=0.(1)若a=,试判断集合A与B之间的关系;(2)若BA,求实数a的取值集合.题组一子集、真子集和空集1.()设集合A=1,0,集合B=2,3,集合M=x|x=b(a+b),aA,bB,则集合M的真子集的个数为()A.7B.12C.16D.152.(2020上海华东师范大学第二附属中学高三下月考,)已知非空集合M满足:对任意xM,总有x2M,且M,若M0,1,2,3,4,5,则满足条件的M的个数是()A.11B.12C.15D.163.(2020北京第八中学高一上月考,)已知集合M=,N=,P=,则M,N,P的关系为()A.M=NPB.MN=PC.MNPD.NPM题组二由集合间的关系解决参数问题6.(2021山西运城高一上检测,)集合M=1,2,a,a2-3a-1,N=-1,3,若3M且NM,则a的取值为()A.-1B.4C.-1或4D.37.(2021广东揭阳高一上检测,)若集合A=x|ax2-2ax+a-1=0=,则实数a的取值范围是.8.(2020山东泰安英雄山中学高一月考,)设集合A=x|-1x+16,B=x|m-1x2m+1,当xZ时,集合A的非空真子集的个数为;当BA时,实数m的取值范围是.9.(2021四川成都第七中学高三上月考,)已知集合a,b,c=0,1,2,有下列三个关系:a2;b=2;c0,若这三个关系中有且只有一个是正确的,则a+2b+3c=.11.(2020甘肃名校高一上期中联考,)已知集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|x16.(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;(2)若AB,求实数a的取值范围.12.(2020湖南长沙一中高一月考,)已知集合A=x|ax2-3x+2=0.(1)若A,求实数a的取值范围;(2)若B=x|x2-x=0,且AB,求实数a的取值范围.考点1集合的基本运算1.(2020北京,1,4分,)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|0 x3,则AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1,2D.1,22.(2020全国理,1,5分,)已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,则U(AB)=()A.-2,3 B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,33.(2020天津,1,5分,)设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,则A(UB)=()A.-3,3 B.0,2C.-1,1 D.-3,-2,-1,1,34.(2020全国新高考,1,5分,)设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1x4考点2集合基本运算的应用5.(2020全国文,1,5分,)已知集合A=1,2,3,5,7,11,B=x|3x15,则AB中元素的个数为()A.2B.3C.4D.56.(2020全国理,1,5分,)已知集合A=(x,y)|x,yN*,yx,B=(x,y)|x+y=8,则AB中元素的个数为()A.2B.3C.4D.67.(2020浙江,10,4分,)设集合S,T,SN*,TN*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:对于任意的x,yS,若xy,则xyT;对于任意的x,yT,若xy,则S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则ST有7个元素B.若S有4个元素,则ST有6个元素C.若S有3个元素,则ST有5个元素D.若S有3个元素,则ST有4个元素应用实践1.(2021江西新余第六中学高一期中,)设全集I是实数集R,M=x|x3,N=x|2x5都是I的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集合为()A.x|2x3B.x|2x3C.x|2x3D.x|2x52.(2021湖湘名校教育联盟高一月考,)设全集U=AB=x|-1x3,A(UB)=x|2x3,则集合B=()A.x|-1x2 B.x|-1x2C.x|2x3D.x|2x33.(2020湖南长沙长郡中学高一上月考,)已知集合A=x|x1,B=x|x-4或xa,若A(RB)中恰好含有2个整数,则实数a的取值范围是()A.3a4B.3a4C.3a4 D.3a4迁移应用5.(2020北京昌平高一上月考,)对于正整数集合A=a1,a2,an(nN*,n3),若去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,则称集合A为“和谐集”.(1)判断集合1,2,3,4,5是不是“和谐集”(不必写过程);(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”,并证明此集合为“和谐集”;(3)当n=5时,集合A=a1,a2,a3,a4,a5,求证:集合A不是“和谐集”.解析(1)集合1,2,3,4,5不是“和谐集”.(2)集合1,3,5,7,9,11,13为“和谐集”.证明如下:3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+9+11=3+5+13,1+3+5+11=7+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,集合1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”.(3)证明:假设集合A是“和谐集”.不妨设0a1a2a3a4a5,则集合a1,a3,a4,a5能分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有a1+a5=a3+a4,或a5=a1+a3+a4,集合a2,a3,a4,a5也能分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有a2+a5=a3+a4,或a5=a2+a3+a4,由,得a1=a2,由,得a1=-a2,由,得a1=-a2,由,得a1=a2,都与假设矛盾,所以假设不成立.故当n=5时,集合A一定不是“和谐集”.名师点睛解决新定义下的集合问题时,首先要将新定义理解清楚,然后根据定义验证、证明即可,同时注意思考问题的全面性.1.3集合的基本运算1|并集与交集 文字语言符号语言图形语言运算性质并集一般地,由所有属于集合A 或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB(读作“A并B”)AB=x|xA,或xBAB=BA,AA=A,A=A=A,A(AB),B(AB),ABAB=B文字语言符号语言图形语言运算性质交集一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作AB(读作“A交B”)AB=x|xA,且xBAB=BA,AA=A,A=A=,(AB)A,(AB)B,ABAB=A续表1.全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2.补集2|全集与补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作UA符号语言UA=x|xU,且xA图形语言运算性质UAU,UU=,U=U,U(UA)=A,A(UA)=U,A(UA)=在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A的元素个数记作card(A).例如,A=a,b,c,则card(A)=3.一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB),如图1.图13|有限集合的并集中元素的个数对于三个有限集合A,B,C,它们的并集中元素的个数公式是card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC),如图2.图21.U(AB)=(UA)(UB).2.U(AB)=(UA)(UB).4|德摩根定律1.UAU.()2.在全集U中存在某个元素x0,既有x0A,又有x0UA,其中A为U的一个子集.()3.若集合A,B中分别有2个元素,则AB中必有4个元素.()4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.()提示:全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,全集为实数集R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集Z.5.若AB=A,B,则B中的每个元素都属于集合A.()提示:当AB=A时,BA,又B,所以B中的每个元素都属于集合A.6.若AB=CB,则A=C.()提示:当B=时,AB=CB=,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|利用集合的运算性质求参数的值或取值范围 由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路1.将集合中的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列举,则可用观察法得到集合之间的关系;与不等式有关的集合,可利用数轴得到集合之间的关系.2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点:(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参数的问题时,要注意这一隐含的条件.(2)涉及AB=A或AB=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关系求解,注意空集的特殊性.(2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学高一期中)已知集合A=x|a-1x2a+3,B=x|-2x4.(1)当a=2时,求AB;(2)若 ,求实数a的取值范围.在AB=A,A(RB)=A,AB=这三个条件中任选一个,补充在(2)中的横线上,并求解.思路点拨思路点拨(1)当a=2时,求得集合A,根据集合的并集运算求解.(2)若选择AB=A,则AB,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择A(RB)=A,则A是RB的子集,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择AB=,则分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围.解析解析(1)当a=2时,集合A=x|1x7,又B=x|-2x4,所以AB=x|-2x-4时,应满足解得-1a.综上可知,实数a的取值范围为.若选择A(RB)=A,则A是RB的子集,易得RB=x|x4.当a-12a+3,即a-4时,A=,满足题意;当a-4时,应满足2a+3-2或a-14,解得-4-4时,应满足2a+3-2或a-14,解得-4a-或a5,综上可知,实数a的取值范围为aa-或a5.2|“补集思想”新学期开学啦!学生们都高高兴兴地来到了新的学校,开始了高中的学习生活.数学老师想了解一下同学们在初中的数学成绩,让你帮忙统计一下中招考试中数学成绩在110分以下(低于110分)的有多少人.问题问题1.你打算怎么办?运用了什么数学方法?提示:由于中招考试中数学满分是120分,因此成绩在110分以下的同学应该占大多数,直接统计110分以下的较麻烦,可以先统计110分以上(含110分)的有多少人,再用全班人数减去这个人数就是成绩在110分以下的人数.运用了补集的思想方法.2.“补集思想”的原理是什么?提示:U(UA)=A,即在全集U中对A的补集再求补集得到的就是集合A.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是补集思想,即已知全集U,求其子集A时,若直接求A较困难,则可先求UA,再利用U(UA)=A求A.1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂的时候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.2.用补集思想解含参问题的步骤:(1)否定已知条件,考虑问题的反面;(2)求问题的反面对应的参数的集合;(3)取问题的反面对应的参数的范围的补集,注意全集的范围.已知集合A=x|x2+ax+1=0,B=x|x2+2x-a=0,C=x|x2+2ax+2=0.若三个集合中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.思路点拨思路点拨假设三个集合均为空集,求得a的取值集合其补集满足题目要求.解析解析假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有即解得-a-1,当a-或a-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有一个集合不是空集.a的取值范围为a|a-或a-1.题组一集合的概念与元素的特性 1.(2021四川成都第七中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是(B B)A.不超过20的质数B.的近似值C.方程x2=1的实数根D.函数y=x2,xR的最小值2.已知集合S中的三个元素a,b,c是ABC的三条边长,那么ABC一定不是(D)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形3.(多选)下面四个说法错误的是(CD)A.10以内的质数组成的集合是2,3,5,7B.由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,1,2C.方程x2-2x+1=0的解集是1,1D.0与0表示同一个集合题组二元素与集合的关系4.(2021江西宜春一中高一上月考)给出下列关系:12R;2Q;|-3|N;|-3|Z;0N.其中正确的个数为(D D)A.1 B.2 C.3 D.45.(2021福建三明第一中学高一上月考)下列说法正确的是(C C)A.N中最小的数是1B.若-aN*,则aN*C.若aN*,bN*,则a+b的最小值是2D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素6.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当aA时,6-aA,那么a的值为(B B)A.2 B.2或4 C.4 D.61.4充分条件与必要 条件1|充分条件和必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系由p可以推出q,记作pq由p不能推出q,记作p q 条件关系p是q的充分条件p不是q的充分条件q是p的必要条件q不是p的必要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.2|充要条件1.p是q的充分条件是指p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立.()2.p是q的必要条件是指“要使p成立,必须要使q成立”,也就是说“若p不成立,则q一定不成立”.()3.三角形相似是三角形全等的必要条件.()提示:由“三角形全等”能推出“三角形相似”,因此结论正确.4.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.()5.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.()6.“AB是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|充分条件、必要条件和充要条件的判断观察下面4个电路图.问题1.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:充分不必要.2.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:必要不充分.3.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:充要.4.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:既不充分也不必要.5.将中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗?提示:结论变,变为充要.充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若A1A2A3An-1An,则A1An,即A1是An的充分条件.必要条件也有传递性,若A1A2A3An-1An,则A1An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也有传递性.因此,对于较复杂的(连锁式)关系的判断可用连锁式的传递图来解答.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,那么AB相当于pq,则p是q的充分条件;BA相当于qp,则p是q的必要条件;A=B相当于pq,则p是q的充要条件;AB相当于pq,但qp,则p是q的充分不必要条件;BA相当于qp,但p q,则p是q的必要不充分条件;AB且BA相当于pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.判断下列各题中p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:t2,q:t24;(3)p:0 x3,q:|x-1|2;(4)p:ABC为直角三角形,q:ABC为等腰三角形.解析(1)x-2=0(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0,p是q的充分不必要条件.(2)t24t2,但t2t24(当t=-2时,t2=4),p是q的必要不充分条件.(3)令A=x|0 x3,B=x|x-1|2=x|-1x3.易得AB,p是q的充分不必要条件.(4)pq,qp,p是q的既不充分也不必要条件.导师点睛(1)判断p是q的什么条件,主要是判断pq及qp两命题的真假,若pq为真,则p是q的充分条件,若qp为真,则p是q的必要条件.(2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充分性和必要性.2|充分条件、必要条件的证明与探究充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必须保证前后是能互相推出的.探求充分条件、必要条件的步骤(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.(2021上海实验学校高一上期末)下列条件中,使不等式组成立的一个充分不必要条件是(A)A.0 x1B.0 x2C.0 x3D.-1x1思路点拨本题可以先解不等式组然后根据充分不必要条件与集合的对应关系得出结果.解析解不等式组得0 x2,因为使“0 x2”成立的充分不必要条件应该满足其限定的x的取值集合为集合x|0 x0,x1,x2同号,又x1+x2=-m-2,x1,x2同为负根.充分性成立.必要性:设x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,故x1,x2均为负数,且x1x2=1,m-2=-(x1+x2)-2=-2=-=-0,m2.必要性成立.综上,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m2.3|利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的等式或不等式(组),求解即可.(2)要注意对解集端点值的检验.(2020江苏泰州中学高一月考)给出下列三个条件:充分不必要;必要不充分;充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上并解答.已知集合P=x|1x4,S=x|1-mx3,即实数m的取值范围为m|m3.若选择,即xP是xS的必要不充分条件,则SP.当S=时,1-m1+m,解得m0,满足要求;当S时,1-m0,则解得m0,此时解集为.综上所述,实数m的取值范围是m|m0.若选择,即xP是xS 的充要条件,则P=S,无法成立,则不存在实数m,使xP是xS的充要条件.感谢！1.5全称量词与存在量词1|全称量词与全称量词命题全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x)全真为真,一假为假2|存在量词与存在量词命题存在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x)一真为真,全假为假1.将一个命题的结论换成原来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命题就是原来命题的否定.如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为p:若s,则t.2.一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是一真一假.3|命题的否定4|全称量词命题和存在量词命题的否定命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)存在量词命题存在量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)全称量词命题1.“有些”“有一个”“有的”是存在量词.()2.全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题.()提示:0是自然数,但0不是正整数,因此“自然数都是正整数”是假命题.3.在全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略.()提示:在存在量词命题中,量词不能省略,有些全称量词命题的量词可以省略.4.命题p:“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”,它们可以同真同假.()5.若命题p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.()6.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.()提示:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式并不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定可以是“并不是所有的菱形