第2讲 常用逻辑用语与常见不等式解法 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 2 2 讲 常用逻辑用语与常见不等式解法一、知识点详解知识点1 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件若 p，则 q 为真命题；等价于如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。2、充要条件若 p，则 q 为真命题；同时若 q，则 p 也是真命题；等价于若 pq，qp，我们就说 p 是 q的充分必要条件，简称为充要条件。知识点2 全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。全称命题的符号记法：xM，p(x)，读作“对任意的 x 属于 M，有 p(x)成立”。2、存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在/特称量词命题。存在命题的符号简记为：x0M，p(x0)，读作“存在一个 x0属于 M，使 p(x0)成立”。3、全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称命题 p：xM，p(x)，它的否定p：x0M，p(x0)。（2）特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否定p：xM，p(x)。（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。知识点3 常见不等式的解法1、一元一次不等式与一元二次不等式、一元一次不等式与一元二次不等式解一元一次不等式以及不等式组解一元一次不等式以及不等式组（1）去括号、移项，注意变号）去括号、移项，注意变号（2）去分母（分母不含未知数）去分母（分母不含未知数）-左右同时乘以分母左右同时乘以分母/分母的最小公倍数分母的最小公倍数（3）不等号左右两边同除系数）不等号左右两边同除系数-不等号左右两边同除不等号左右两边同除 正正/负负 的系数的系数（4）不等式组结果取交集）不等式组结果取交集解一元二次不等式解一元二次不等式（1）移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为）移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为 0 （2）因式分解：）因式分解：不等式无解或者全体实数不等式无解或者全体实数利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）*（）（）（3）调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数）调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数（4）出结果：大于取两边，小于取中间）出结果：大于取两边，小于取中间2、绝对值不等式的解法、绝对值不等式的解法（1）去绝对值分类讨论）去绝对值分类讨论（2）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间3、分式不等式、分式不等式（1）移项，化简，通分）移项，化简，通分（2）注意分式化整式，当出现）注意分式化整式，当出现0；，注意分母不等于，注意分母不等于 00,000,0000,00BABBABABBAABBAABBA（3）调整未知数系数为正）调整未知数系数为正 （4）大于取两边，小于取中间）大于取两边，小于取中间二、例题解析例例 1：常见不等式的解答：常见不等式的解答（1）解下列一元二次不等式（1）064212 xx （2）4x24x+10；（3）2x2x10；（4）3（x2）（x+2）4（x+1）2+10 （5）2x2+5x+70【答案】解：（1）2x6，（2）原不等式的解集为R；（3）原不等式的解集为211x；（4）原不等式的解集为35xx或 （5）271x（2）解下列绝对值不等式（1）|34x|5；（2）解不等式组0)5)(1(13xxx【答案】（1）x|x21或 x2 （2）原不等式的解集为5421xx或（3）解下列分式不等式（1）0324xx （2）求不等式1123x的解集【答案】（1）x|x4 或23x (2)221xx或例例 2：充分条件与必要条件：充分条件与必要条件（1）1x 是|1x 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由1x 可得|1x，但由|1x，可得1x ，故1x 是|1x 的充分不必要条件，故选：A（2）设aR，则“1a”是“2aa”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由2aa，解得0a或1a，故1a”是“2aa”的充分不必要条件，（3）设xR，则“|1|2x “是“2xx”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必条件【答案】B【解析】解：|1|2x，解得：13x 2xx，解得：01x“|1|2x “是“2xx”的必要不充分条件 故选：B（4）命题:1P x ，则命题P的一个充分不必要条件为()A1x B2xC82x D103x【答案】D【解析】解：由：1031xx ，反之不成立，命题:1P x ，则命题P的一个充分不必要条件为：103x 故选：D例例 3：全称量词与全称量词命题：全称量词与全称量词命题（1）下列语句中是全称命题的是()A对每一个无理数x，2x也是无理数B存在两个相交平面垂直于同一条直线C213x D某些平行四边形是菱形【答案】A【解析】解：A含有全称量词每一个，所以A是全称命题 B含有特此量词存在，是特称命题 C不是命题 D含有特此量词某些，是特称命题 故选：A【题干】【题干】（2）命题“xR，321 0 xx”的否定是()AxR，321 0 xx BxR，3210 xx CxR，321 0 xx DxR，3210 xx【答案】B【解析】解：将量词否定，结论否定，可得xR，3210 xx【题干】【题干】（3）已知命题0:2px，3080 x，那么p为()A02x，308 0 x B2x，38 0 x C02x，308 0 x D2x，38 0 x 【答案】B【解析】解：已知命题0:2px，3080 x，那么p是2x，38 0 x ，三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1、下列一元二次不等式：（1）276xx；（2）24(221)(4)xxxx2、解不等式组：2421xxx3、设aR，则“2a”是“232 0aa”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件4、已知命题:0px，总有(1)1xxe，则p为()A00 x，使得00(1)1xxeB00 x，使得00(1)1xxeC00 x，使得00(1)1xxeD00 x，使得00(1)1xxe5、设xR，则“230 xx”是“|1|2x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 B 类B 类6、设xR，则“11|22x”是“02x”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7、已知aR，则“2a”是“22|aa”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8、命题2:230p xx，命题:q xa，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是()A1aB1aC1aD3a9、已知:p x k，3:11qx，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，)B(2,)C1，)D(，110、若“103xx”是“|2xa”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是()A31 aB31 aC31aD31a四、课后作业A 类A 类1“xR，2210 xx”的否定是2、“1x，是2430 xx”的()条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3、设xR，则“220 xx”是“|1|2x”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件4、设a，bR，则“4ab”是“2a且2b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5、设xR，则“|2|1x”是“2430 xx”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件B 类B 类6设xR，则“|2|1x”是“201xx”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7、设xR，则“|12xx”是“101x”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件8、不等式220axbx的解集为1(2，1)3，则ab等于9、若命题“0 xR，200390 xmx”为假命题，则实数m的取值范围是()A(2,2)B(，2)(2，)C 2，2D(，22，)10、设xR，则“|1|1x”是“112x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件C 类C 类11、不等式110 x成立的充分不必要条件是()A1x B1x C1x 或01xD11x 或1x 12、设xR，则“|2|1|5xx”是“33x ”的()A充分不必要区间B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件13、设xR，则“11|22x”是“31x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14、设命题:14x，命题:xm；若是的充分条件，则实数m的取值范围是_ 第 2 2 讲 常用逻辑用语与常见不等式解法一、知识点详解知识点1 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件若 p，则 q 为真命题；等价于如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。2、充要条件若 p，则 q 为真命题；同时若 q，则 p 也是真命题；等价于若 pq，qp，我们就说 p 是 q的充分必要条件，简称为充要条件。知识点2 全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。全称命题的符号记法：xM，p(x)，读作“对任意的 x 属于 M，有 p(x)成立”。2、存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做存在/特称量词命题。存在命题的符号简记为：x0M，p(x0)，读作“存在一个 x0属于 M，使 p(x0)成立”。3、全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称命题 p：xM，p(x)，它的否定p：x0M，p(x0)。（2）特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否定p：xM，p(x)。（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。知识点3 常见不等式的解法1、一元一次不等式与一元二次不等式、一元一次不等式与一元二次不等式解一元一次不等式以及不等式组解一元一次不等式以及不等式组（1）去括号、移项，注意变号）去括号、移项，注意变号（2）去分母（分母不含未知数）去分母（分母不含未知数）-左右同时乘以分母左右同时乘以分母/分母的最小公倍数分母的最小公倍数（3）不等号左右两边同除系数）不等号左右两边同除系数-不等号左右两边同除不等号左右两边同除 正正/负负 的系数的系数（4）不等式组结果取交集）不等式组结果取交集解一元二次不等式解一元二次不等式（1）移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为）移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为 0 （2）因式分解：）因式分解：不等式无解或者全体实数不等式无解或者全体实数利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）*（）（）（3）调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数）调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数（4）出结果：大于取两边，小于取中间）出结果：大于取两边，小于取中间2、绝对值不等式的解法、绝对值不等式的解法（1）去绝对值分类讨论）去绝对值分类讨论（2）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间3、分式不等式、分式不等式（1）移项，化简，通分）移项，化简，通分（2）注意分式化整式，当出现）注意分式化整式，当出现0；，注意分母不等于，注意分母不等于 00,000,0000,00BABBABABBAABBAABBA（3）调整未知数系数为正）调整未知数系数为正 （4）大于取两边，小于取中间）大于取两边，小于取中间二、例题解析例例 1：常见不等式的解答：常见不等式的解答（1）解下列一元二次不等式（1）064212 xx （2）4x24x+10；（3）2x2x10；（4）3（x2）（x+2）4（x+1）2+10 （5）2x2+5x+70【答案】解：（1）2x6，（2）原不等式的解集为R；（3）原不等式的解集为211x；（4）原不等式的解集为35xx或 （5）271x（2）解下列绝对值不等式（1）|34x|5；（2）解不等式组0)5)(1(13xxx【答案】（1）x|x21或 x2 （2）原不等式的解集为5421xx或（3）解下列分式不等式（1）0324xx （2）求不等式1123x的解集【答案】（1）x|x4 或23x (2)221xx或例例 2：充分条件与必要条件：充分条件与必要条件（1）1x 是|1x 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由1x 可得|1x，但由|1x，可得1x ，故1x 是|1x 的充分不必要条件，故选：A（2）设aR，则“1a”是“2aa”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由2aa，解得0a或1a，故1a”是“2aa”的充分不必要条件，（3）设xR，则“|1|2x “是“2xx”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必条件【答案】B【解析】解：|1|2x，解得：13x 2xx，解得：01x“|1|2x “是“2xx”的必要不充分条件 故选：B（4）命题:1P x ，则命题P的一个充分不必要条件为()A1x B2xC82x D103x【答案】D【解析】解：由：1031xx ，反之不成立，命题:1P x ，则命题P的一个充分不必要条件为：103x 故选：D例例 3：全称量词与全称量词命题：全称量词与全称量词命题（1）下列语句中是全称命题的是()A对每一个无理数x，2x也是无理数B存在两个相交平面垂直于同一条直线C213x D某些平行四边形是菱形【答案】A【解析】解：A含有全称量词每一个，所以A是全称命题 B含有特此量词存在，是特称命题 C不是命题 D含有特此量词某些，是特称命题 故选：A【题干】【题干】（2）命题“xR，321 0 xx”的否定是()AxR，321 0 xx BxR，3210 xx CxR，321 0 xx DxR，3210 xx【答案】B【解析】解：将量词否定，结论否定，可得xR，3210 xx【题干】【题干】（3）已知命题0:2px，3080 x，那么p为()A02x，308 0 x B2x，38 0 x C02x，308 0 x D2x，38 0 x 【答案】B【解析】解：已知命题0:2px，3080 x，那么p是2x，38 0 x ，三、课堂练习A 类A 类1、下列一元二次不等式：（1）276xx；（2）24(221)(4)xxxx【答案】（1）|16xx （2）2|3x x【解 析】解：（1）方2760 xx，即(1)(6)0 xx，不 等 式 的 解 集 为：|16xx（2）原方程化为291240 xx，即2(32)0 x，23x，即原不等式的解集为：2|3x x 2、解不等式组：2421xxx【答案】30 x【解析】解可得：1x3，解可得：0 x4，即不等式的解集为30 x3、设aR，则“2a”是“232 0aa”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：由232 0aa，得1a或2a即由2a可得232 0aa，反之不一定成立故“2a”是“232 0aa”的充分非必要条件故选：A4、已知命题:0px，总有(1)1xxe，则p为()A00 x，使得00(1)1xxeB00 x，使得00(1)1xxeC00 x，使得00(1)1xxeD00 x，使得00(1)1xxe【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题:0px，总有(1)1xxe，则p为：00 x，使得00(1)1xxe故选：B5、设xR，则“230 xx”是“|1|2x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：230 xx，解得03x|1|213xx “230 xx”是“|1|2x”的充分不必要条件故选：A B 类B 类6、设xR，则“11|22x”是“02x”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：11|22x 解之得：01x，01x是“02x”的充分不必要条件7、已知aR，则“2a”是“22|aa”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：22|aa，|2a，即2a或2a ，“2a”是“22|aa”的充分不必要条件8、命题2:230p xx，命题:q xa，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是()A1aB1aC1aD3a【答案】A【解析】2:230p xx，解得3x 或1x，且q的一个必要不充分条件是p，则1a9 已知:p x k，3:11qx，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，)B(2,)C1，)D(，1【答案】B【解析】解：311x，321011xxx，2x或1x ，p是q的充分不必要条件，2k 10、若“103xx”是“|2xa”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是()A31 aB31 aC31aD31a【答案】B【解析】解：由103xx得13x，由|2xa得22axa，若“103xx”是“|2xa”的充分而不必要条件，则2 32 1aa，即13aa，得13a 四、课后作业A 类A 类1“xR，2210 xx”的否定是【答案】故答案为：0 xR，20021 0 xx【解析】解：命题为全称命题，则“xR，2210 xx”的否定是：0 xR，20021 0 xx，2、“1x，是2430 xx”的()条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若1x，则2430 xx，是充分条件，若2430 xx，则1x 或3x，不是必要条件，3、设xR，则“220 xx”是“|1|2x”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：由220 xx，得02x；由|1|2x，得13x 故选：A4、设a，bR，则“4ab”是“2a且2b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由4ab不能推出2a且2b，由2a且2b能推出4ab，故选：B5、设xR，则“|2|1x”是“2430 xx”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：“|2|1x”，解之得1x 或3x，“2430 xx”，解之得1x 或3x，故“|2|1x”是“2430 xx”的充分必要条件 故选：CB 类B 类6设xR，则“|2|1x”是“201xx”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|1x 知，13x故|13Axx由201xx，知1x 或2x 故|1Bx x或2x 因为AB，所以答案为充分不必要条件故选：A7、设xR，则“|12xx”是“101x”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：当0 x时，由|12xx 得12xx，得1x ，此时无解，当0 x时，由|12xx 得12xx ，得13x ，综上不等式的解为13x ，由101x 得10 x 得1x ，则“|12xx”是“101x”的必要不充分条件，故选：A8、不等式220axbx的解集为1(2，1)3，则ab等于【答案】14ab【解析】解：不等式220axbx的解集为1(2，1)312，13为方程220axbx的两个根根据韦达定理：1123ba 11223a 由解得：122ab 故答案为149、若命题“0 xR，200390 xmx”为假命题，则实数m的取值范围是()A(2,2)B(，2)(2，)C 2，2D(，22，)【答案】C【解析】解：命题“0 xR，200390 xmx”为假命题，命 题xR，239 0 xmx 为 真 命 题，即 判 别 式 2936 0m，即24m，即22m，10、设xR，则“|1|1x”是“112x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由|1|1x 得11 1x ，得20 x，由112x得112x，得0 x或2x，则“|1|1x”是“112x”的充分不必要条件，故选：AC 类C 类11、不等式110 x成立的充分不必要条件是()A1x B1x C1x 或01xD11x 或1x【答案】A【解析】解：由110 x得11x，即0 x或1x，则不等式110 x成立的充分不必要条件应该是|1x x 或0 x 的真子集，即1x 满足条件故选：A12、设xR，则“|2|1|5xx”是“33x ”的()A充分不必要区间B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：|2|1|xx表示的是数轴上到2和 1 的距离之和，3到2的距离为 1，3到 1 的距离为 4，3到2和 1 的距离之和为 5，同理可证：2到2和 1 的距离之和为 5，|2|1|532xxx ，3233xx ，33x 推不出32x ，32x 是33x 的充分不必要条件故选：A13、设xR，则“11|22x”是“31x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由11|22x 可得111222x，解得01x，由31x，解得1x，故“11|22x”是“31x”的充分不必要条件，故选：A14、设命题:14x，命题:xm；若是的充分条件，则实数m的取值范围是【答案】4m【解析】解：命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件AB，命题:14x，命题:xm；若是的充分条件，则4m