1、3.3 幂函数 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的蔬菜量w（千克）之间有何关系？(2)如果正方形的边长为a，那么正方形面积S是多少？(3)如果正方体的棱长为b，那么正方体的体积V是多少(4)如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c是多少?(5)如果某人t秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度（千米/秒)v是多少？知识探究(一)cS 1vt 问题1:我们前面已经学习了函数的概念，并利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质。本节我们就来利用这些知识研究一类新的函数。先来看几个有关实际问题的几个函数：pw 2Sa 3Vb 12S 1t 0mn
2、mnaaa 一 般 地，时，可 写 成 思考(1)：观察以上五个解析式，从自变量，函数值，解析式的结构看，它们有什么共同特征？pw 2Sa 3Vb 12cS 1vt (1)函数是都是幂的形式(2)幂的底数是自变量，指数是一个常数.象这种形如“y=x”的函数称为幂函数。幂函数 一般地，函数 y=x 叫幂函数，其中 x为自变量，为常数思考(2)：在以上五个函数中，有没有你熟悉的函数？()pw 正比例函数，2()Sa 二次函数，1().Vt 反比例函数思考(3)：你能否再举一个幂函数的例子？(1)只有一项，且前面的系数是；1x 幂的底数 是自变量，指数是常数。(2)x 说明：幂函数解析式的结构特征：
3、返回返回423322(1)(2)2(3)3(4)(5)(6)(1)xyxyxyyxyxxyx ；.2.若f(x)=(m2-m-1)x-m+n+1是幂函数，则f(2)_.不是1.判断下列函数是不是幂函数？是不是不是是练 习不是由f(x)=(m2-4m+5)x-m+n+1是幂函数得2|1|0,451nmm 2,1mn 解得f(x)=x-2，-2(2)2f 21124 简析：14()fxx 设(2)2f 由题意得，22 即122 12()fxx 简析：()(2,2),yfx 3.已知幂函数的图象过点求这个解析式。(教材P91练习第1题）思考(1)：如何来研究一类函数的这些性质呢？函数的定义域、值域(
4、含最值)、单调性、奇偶性等.问题2:有了幂函数的定义，接下来我们应该研究什么呢？请你根据前面的经验说一说？知识探究(二)可以先根据函数的解析式得出函数的定义域，再用描点法画出函数的图象，接下来再利用图象来研究函数的值域、单调性、奇偶性等.11232yxyxyxyxyx 对 于 前 面 的 五 个 特 殊 的 幂 函 数，的 图 象 是 熟 悉 的，那 么 如 何 才 能 画 出，思 考(2)的：图象 呢？3yxR 的定义域是，且是奇函数，120,),yxx 的定义域是无奇偶性，只需直接列表，3113.-2-1-012.2222x 如取，。x列表时可以让 对称取值，0 x 也 可 以 先 作 出
5、的 图 象，再 利 用 奇 函 数 的 对 称 性描点，连线即可。0 x 作 出时 的 图 象。y=x2yx 1yx 3yx 12yx 思考(3)：如观察这五个函数图象，并结合解析式，说它们都有哪些性质？思考(3)：如观察这五个函数图象，并结合解析式，说它们都有哪些性质？y=xy=x2y=x3y=x-1定义域 值域奇偶性 单调性 RRR,)(-,)(,+)RR,),)(-,)(,+)奇函数 偶函数奇函数 奇函数 增函数 在,)上递增,在(,上递减增函数 增函数 在(,)上递减,在(,)上递减 思考(4)：这五个幂函数，它们的有哪些相同性质？有哪些不同性质？(1)在(0，+)上都有意义，且图象都
6、过(1,1)点，都不过四象限。(2)y=x，y=x3，y=x-1都是奇函数,y=x2是偶函数。指数均为奇数指数为偶数指数均为正数指数为负数返回返回 (3)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2在区间(,+)都单调递增，y=x-1在区间(,+)都单调递减，用图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。1.在(0,+)上的性质：函数y=x在(0,+)都有意义，并且图象都过(1,1)点，都不过四象限.(1)当0时,在(0,+)上图象都是上升的，是增函数.且 若01，图象向上弯.（若=1，图象是直线）(2)当0时,在(0,+)上都是下降的，是减函数且 图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。2.
7、奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数.幂函数y=x的性质返回返回例 析1.().fxx 例用定义法证明幂函数是增函数()fxx 函数的定义域为0,+)证明：确定取值区间取值比较大小作出结论12120,)xxxx 、，且，有 1212()()fxfxxx 121212()()xxxxxx 1212xxxx 12120,)xxxx 、，且 1212-00 xxxx ，12()()fxfx 即().fxx 函数是增函数 例2.利用幂函数的性质，比较下列各组数的大小：，；，；，11112222(1)1.31.4(2)(0.26)(0.27)(3)(5.2)(5.3).解:(1
8、)12()fxx 是增函数(1.3)(1.4)ff 11221.31.4.即 33(1.3(1.4)11.1.51.4 函数的定义域为3().f xxR 是增函数，奇函数.3()f xx 下证是增函数：3()f xx 、，且，有1212xxRxx 331212()()fxfxxx 22121122()()xxxx xx 2222212112()()24xxxxxx x 2222121()()24xxxxx 、，且1212xxRxx 22221210,()024xxxxx 12()()0,f xf x 即12()().f xf x 函数是增函数.3()fxx 下证是奇函数：3()f xx 的定义域关于原点对称()f x 有,xR 33()()fxxx ()()fxfx 函数是奇函数.3()fxx 小结1.什么是幂函数？其结构上有何特点？2.结合常见的五个具体幂函数，说说幂函数都有哪些性质？3.结合本节课的内容，说说研究一类函数的研究内容和方法？(1)由实际问题的背景抽象出函数的概念(函数的解析式，定义域等）；(2)画出函数的图象；(3)利用函数的图象和解析式，讨论函数的性质：值域（最值），单调性，奇偶性等。(4)应用函数的知识解决有关问题。解析式，定义域画图象讨论性质应用作 业教材P91习题3.3第1题，2题(1),(2)小题，第3题
