1、4.3 对数函数4.3.2 对数的运算第1课时且a0,a1;N0.一般地，如果ax=N(a0且a1)，则数x叫以a为底N的对数，记作：x=loga N 其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。说明：(1)对底数a和真数N的要求：(2）对数loga N的意义：真数N是底数a的多少次幂。1.什么是对数？怎样理解对数的意义？复习引入2.对数的性质有哪一些？学习了对数之后，自然就应该研究它的运算，接下来我们就首先来研究对数的运算性质.知识探究 问题：我们知道，对数和指数之间有着不可分割的关系，在上一节课我们也掌握了指数式和对数式的互化，那么大家能否利用指数幂运算性质，得出相应的对数运算性质呢？思考(1
2、)：你还记得指数幂的运算性质吗？(1)srsraaa ，ssrraaa ；(2)(),rrraba b ();rrraabb (3)().snsraa 其中(0,)as rR 思考(2)：我们知道aman=am+n，那么 m+n 如何表示，能用对数式运算吗？设,mnMaNa 由得mnmna aa =mnaMN mn 则m log()aMN，logaMloganN 即logloglog()aaaMNMN 思考(3)：你能仿照以上的过程,由aman=am-n,(am)n=amn 推导出对数运算的其它性质吗？设,mnMaNa 由得mnmnaaa =mnMaMNN mn 则m logaMN，logaM
3、loganN 即logloglogaaaMMNN 又由得()mnm naa=m nnaMmn lognaMloglog,naanMM 即loglognaaMnM 思考(4)：在以上的推导中，对其中的a,M,N,m,n有什么要求吗？且0,1;aa 0,0;MN ,.m nR 对数的运算法则如果a0,a 1,M0,N0,则logloglogaaaMNMN(1)logloglogaaaMMNN (2)(3)loglognaaMnM 积的对数等于对数的和；商的对数等于对数的差;语言表达:幂的对数等于对数的倍数；()nR 对数的倍数可以作为真数的指数；返回判断正误，若有误，请改为正确的式子或命题：练 习
4、(1)lg 2 lg 3lg 6;()(2)lg(47)lg4lg7;()且22(3)log(log)(01);()aaNNaa (4)ln8ln2ln4;()22(5)log 4log 21;()22(6)3log 3log 9;()且与等价(01)(7)logloglog;()aaaaaxzxyzy 且当时(010,loglog)naaaaxxnx lg 2lg 3lg 6 或lg(47)lg11lg28lg4lg7 且2log2 log(01)aaNN aa ln8ln2ln4;223log 3log 27 且当时与等价(01),0,logloglogaaaaaxx yzxyzy 且时(
5、01(8),loglog)().naaaax nRxnx 例1.求下列程式的值:解:例 析15lg100还有其它算法吗？7552(1)lg100;(2)log(42)5(1)lg100 1lg1005 12255752(2)log(42)7522log 4log 2 227 log 45log 2 725 19 或5lg100 52lg1025lg10 22lg1055 或752log(42)1452log(22)192log 2 19 例1.求下列程式的值:解:233332log 2loglog 829 5log 2233332(3)2log 2loglog 85;(4)lg 5lg 20(
6、lg 2).9 原式(3)33332log 4loglog 829 39log(48)2323log 920 另解:333332log 2(log 32log 9)log 22原式 0 53332log 2log 223log 223332log 25log 223log 22例1.求下列程式的值:解:2lg5(lg10lg2)(lg2)5log 2233332(3)2log 2loglog 85;(4)lg 5lg 20(lg 2).9 原式(3)2lg 5(1lg 2)(lg 2)1 另解:原式 2lg 5lg 5 lg 2(lg 2)lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2
7、2lg5lg(54)(lg 2)2lg5(lg5lg4)(lg 2)22(lg5)lg5lg4(lg 2)22(lg5)2lg5lg 2(lg 2)2(lg5lg 2)1 解：(1)原式=例 用表 示232.ln,ln,ln(1)lnx y zxyz例用表示232432.ln,ln,ln(1)ln;(2)ln(2)ln.xyzxyyxzz 23lnlnxyz 123lnlnlnxyz 112lnlnln23xyz (2)原式=234(ln2ln)(lnln)xyz (ln22ln)(3ln4ln)xyz 3ln2ln4ln2ln6ln ln8ln lnyzxyxz 2322.lg,lg,lg(
8、1)lg();(2)lg;(3)lg;(4)lg.xyzxyzxyzxyzxy z 用表示下列各式：练习 2355331.(1)log(279);(2)lg 5lg 2;1(3)log 3log;3(4)log 5log 15.求下列各式的值：解：343log(33)原式73log 3 37log 3 7 原式lg(52)lg10 1 原式51log(3)3 5log 1 0 原式13log 3 3515log1 31log3 解：原式lgxlgylgz.原式lgxlgy2-lgz=lgx2lgy-lgz.原式3lglglgxyz 1lg3lglg.2xyz 原式2lglglgxyz 1lg2
9、lglg.2xyz (教材P126练习第1,2题)23.lglg2 lg(2),log.xxyxyy 例已知求的值解：lglg2lg(2)xyxy 由得例析 2lglg(2)xyxy ,0,0,20 xyxy 且由得,2(2)xyxy 22540 xxyy 即4xyxy 或由得,4xy，4.xy 即22loglog4xy 42log(2)4 lg 2lg 3lg108_(,.aba b 1.设，则用表示)简析：(1)lg108 练习 lg(427)lg4lg27 23lg 2lg 3 2lg23lg323ab lglg(0,0),_.ab aba b 2.已知，互为相反数，则的关系是 23ab
10、(2)lglg0ab 由得,lg()0.ab 1ab 1ab (2)(1)log(38)2;(2)ln(1)lnln6.xxxx 2.解下列方程：简析：(2)(1)log(38)2xx 由得238(2)xx380 x 2021xx且 348323xxxxx 或即且4x(2)ln(1)lnln 6xx 由得2ln()ln 6xx 10 x 0 x 261,0 xxxx 即2x 3210 xxxx 或小 结1.指数式与对数式的关系是怎样的？2.底数为10和e的对数分别叫什么，怎样简记？3.对数的运算性质有哪一些？指数 以a为底N的对数a b=Nb=log a N指数式对数式底数 底数幂值对真数(a
11、0,且a1;N0)10logN lg,NlogeN ln N常用对数：自然对数：作 业1.教材P126习题4.3第3，4题555527(1)log 35-2loglog 7-log 1.8;3(2)(lg 5)lg 2lg 5lg 2.2.计算：5552log()log(2)log(2),.yxyxyx 3.已知求=1+log 5 7-2log 5 7+2log 5 3+log 5 7-(log 5 3 2 1)=1+2log 5 3 2 log 5 3 +1=2(2)原式=lg5（lg5+lg 2)+lg 2=lg5+lg 2=lg10=1=lg5lg(52)+lg 2 555527(1)log 35-2 loglog 7-log 1.8;3(2)(lg 5)lg 2 lg 5lg 2.2.计 算：解：(1)原式=log 5(57)-2(log 5 7-log 5 3)+log 5 7 log 5 955552log()loglog(3),.yxyyxyx 3.已知求5552log()loglog(3)xyyxy 由得2255log()log(3)xyxyy ,0,0,30 xyyxy 且由得2220,xxyy 2xyxy 或2xy 不满足，.xy 1yx 解：
