1、2.2基本不等式课前检测题一、单选题1已知，若，则的最小值是（ ）A5B4C3D22若，则（ ）A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值3“”是“函数的最小值大于4”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知，且，则的最小值为（ ）ABCD5若x，yR，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）A(，2B(0，1)C(，0D(1，+)6已知m，nR，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）A25B50C20D7函数的最小值为（ ）A9B6C5D28已知都是正数，若，则的最小值是（ ）A5B4CD二、多选题9几何原本中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成
2、为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）ABCD10下列说法中，正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则三、填空题11已知，则函数的最小值为_.12函数的最小值是_.13已知实数x，y满足x2+xy=1，则y22xy的最小值为_.14已知，且，则的最小值为_.四、解答题15已知、都是正数，求证：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.16（1）已知a0，b0，且4ab1，求ab的最大值；（
3、2）若正数x，y满足x3y5xy，求3x4y的最小值；（3）已知x，求f（x）4x2的最大值；参考答案1D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值是故选：D2A【分析】直接根据基本不等式求解即可【详解】解：，又，当且仅当即时等号成立，当且仅当时等号成立，故选：A3C【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】解：若，则的最小值为；若的最小值大于4，则，且，则，故选：C4B【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.【详解】因为，且，所以，所以，所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值故选：B.5A【分析】利用基本不等式
4、由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围【详解】解：因为，所以，即，当且仅当，即时取“=”，所以x+y的取值范围是(，2.故选：A.6B【分析】利用不等式m2+n22mn，可求得结果.【详解】由m2+n22mn，得 mn=50，当且仅当m=n=时等号成立.所以mn的最大值是.故选：B【点睛】关键点点睛：利用不等式m2+n22mn求解是关键.7C【分析】本题可通过基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，则，当且仅当时取等号，故函数的最小值为.故选：C.8C【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.【详解】，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故选：C.【点睛】易错点
5、睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9BCD【分析】由，得到，然后利用射影定理得到判断.【详解】因为，所以,因为，所以由射影定理得，因为，所以，当且仅当时取等号，故选：BCD10ABD【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可.【详解】解：对于A选项，由，得，故A正确
6、；对于B选项，由，得，即，故B正确；对于C选项，虽然，但不一定有，故C不一定成立，故C不正确；对于D选项，由基本不等式，得，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题.11【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：124【分析】根据基本不等式可求出结果.【详解】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要
7、求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13【分析】由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得【详解】由x2+xy=1，得，所以，当且仅当 时取等号.故答案为：.14【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】由得，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：15（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；（2）利用基本不等式可证明出结论成立.【详解】因为、都是正数，所以.（1）当积等于定值时，所以，当
8、且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；（2）当和等于定值时，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.【点睛】本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.16（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】试题分析：（1）根据基本不等式的性质可知，进而求得的最大值（2）将方程变形为代入可得然后利用基本不等式求解（3）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可试题解析：（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号故答案为（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.考点：基本不等式
